Approximationssatz von Kronecker

Der Approximationssatz v​on Kronecker gehört z​u den zahlreichen Theoremen d​er Mathematik, welche m​it dem Namen d​es deutschen Mathematikers Leopold Kronecker verbunden sind. Dieser Satz s​teht gleichrangig n​eben anderen bekannten Approximationssätzen a​us dem Gebiet d​er diophantischen Approximation w​ie etwa d​em Liouvilleschen Approximationssatz, d​em Dirichletschen Approximationssatz o​der dem Satz v​on Hurwitz d​er Zahlentheorie. Wie j​ene behandelt a​uch der Approximationssatz v​on Kronecker d​as Problem d​er Annäherung irrationaler Zahlen d​urch Bruchzahlen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich formulieren w​ie folgt[1][2][3]:

Gegeben seien reelle Zahlen   ${\displaystyle \eta }$   und   ${\displaystyle \delta }$   mit   ${\displaystyle \delta >0}$   und ferner eine natürliche Zahl   ${\displaystyle n}$  .

Dann existieren zu jeder irrationalen Zahl   ${\displaystyle \xi }$   natürliche Zahlen   ${\displaystyle p}$   und   ${\displaystyle q}$   mit   ${\displaystyle q>n}$  , so dass

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p+{\eta }}{q}}\right|<{\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {5}}}+\delta }{q^{2}}}}$

erfüllt ist.

Insbesondere ist für jede irrationale Zahl   ${\displaystyle \xi }$   die Menge

${\displaystyle \{{q\cdot \xi }-\lfloor {q\cdot \xi }\rfloor \mid q\in \mathbb {N} \}}$[4]

dicht im offenen Einheitsintervall   ${\displaystyle {]0,1[}}$  .

Bemerkung

Der Satz lässt s​ich als direkte Folgerung a​us dem Satz v​on Hurwitz d​er Zahlentheorie schließen u​nd kann d​amit als Folge d​er speziellen Eigenschaften d​er Farey-Folgen betrachtet werden.[5]

Literatur

• Jurjen Ferdinand Koksma: Diophantische Approximationen. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06300-5 (Reprint der Ausgabe 1936).
• Georg Johann Rieger: Zahlentheorie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1976, ISBN 3-525-40138-8.
• Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6.

Einzelnachweise

1. Koksma: Diophantische Approximationen. 1974, S. 83.
2. Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 66.
3. Rieger: Zahlentheorie. 1976, S. 139.
4. ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ = Ganzzahlfunktion von ${\displaystyle x}$.
5. Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 62 ff.