Maßerhaltende Abbildung

Maßerhaltende Abbildungen, manchmal a​uch maßtreue Abbildungen genannt, s​ind Selbstabbildungen e​ines Maßraums, d​ie das Maß erhalten. Man spricht a​uch von maßerhaltenden dynamischen Systemen, insbesondere w​enn man d​as Verhalten d​er Abbildung u​nter Iteration betrachtet.

Umgekehrt spricht m​an von e​inem invarianten Maß e​iner Abbildung o​der eines dynamischen Systems, w​enn die Abbildung (oder d​as dynamische System) d​as Maß erhält.

Maßerhaltende Abbildungen s​ind das Thema d​er Ergodentheorie innerhalb d​er Theorie d​er dynamischen Systeme.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,\Sigma ,P)}$ ein Maßraum, d. h., ${\displaystyle X}$ sei eine Menge, ${\displaystyle \Sigma \subset {\mathcal {P}}(X)}$ die σ-Algebra der messbaren Mengen und ${\displaystyle P}$ ein Maß. Eine messbare Abbildung

T : [0,1) → [0,1), ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$ ist eine maßerhaltende Abbildung für das Lebesgue-Maß auf [0,1].

${\displaystyle f\colon X\to X}$

heißt maßerhaltende Abbildung, wenn für alle ${\displaystyle A\in \Sigma }$

${\displaystyle P(f^{-1}(A))=P(A)}$

gilt.

Man beachte, dass für eine maßerhaltende Abbildung nicht notwendig ${\displaystyle P(f(B))=P(B)}$ für die messbaren Mengen ${\displaystyle B}$ gelten muss, dass also nur Urbilder und nicht unbedingt Bilder messbarer Mengen dasselbe Maß haben. Das Bild rechts zeigt die Bernoulli-Abbildung (Winkelverdopplung) ${\displaystyle T(x)=2x\mod 1}$. Diese Abbildung ist maßerhaltend, zum Beispiel gilt für jedes Intervall ${\displaystyle T^{-1}(a,b)=({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}})\cup ({\frac {a+1}{2}},{\frac {b+1}{2}})}$, also

${\displaystyle P(T^{-1}(a,b))={\frac {b-a}{2}}+{\frac {b-a}{2}}=b-a=P(a,b)}$.

Trotzdem müssen Bildmengen nicht dasselbe Maß wie die Ursprungsmenge haben, zum Beispiel ist ${\displaystyle P(0,{\frac {1}{2}})=0{,}5}$, aber ${\displaystyle P(T(0,{\frac {1}{2}}))=P(0,1)=1}$.

Beispiele

Maßerhaltende Abbildungen

• ${\displaystyle X}$ sei der Einheitskreis, ${\displaystyle \Sigma }$ die σ-Algebra der Borelmengen und ${\displaystyle P}$ das gleichverteilte Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}d\theta }$. Jede Drehung des Einheitskreises ist eine maßerhaltende Abbildung.
• Die durch eine ganzzahlige unimodulare Matrix ${\displaystyle A\in GL(n,\mathbb {Z} )}$ definierte Selbstabbildung ${\displaystyle f\colon T^{n}\to T^{n}}$ des n-dimensionalen Torus ${\displaystyle T^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ gegebene Abbildung ist maßerhaltend bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}d\theta _{1}\ldots d\theta _{n}}$.
• Eine Intervall-Austausch-Abbildung ist maßerhaltend.

Maßerhaltende dynamische Systeme

Eine wichtige Klasse von maßerhaltenden dynamischen Systemen bilden die stationären stochastischen Prozesse in diskreter Zeit. Dazu definiert man einen kanonischen Prozess ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)=(E^{\times \mathbb {N} },{\mathcal {B}}(E)^{\otimes E},P)}$ und den Shift-Operator ${\displaystyle \tau }$ als

${\displaystyle \tau ((\omega _{n})_{n\in \mathbb {N} })=(\omega _{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Dann ist ${\displaystyle X_{n}(\omega )=X_{0}(\tau ^{n}(\omega ))}$ und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,\tau )}$ ist ein dynamisches System, das aufgrund der Stationarität maßerhaltend ist.

Invarianten

Eine d​ie Chaotizität maßerhaltender Abbildungen messende Invariante i​st die Kolmogorow-Sinai-Entropie.

Literatur

• Peter Walters: Ergodic theory—introductory lectures (= Lecture Notes in Mathematics. Vol. 458). Springer, Berlin/New York, 1975.
• James R. Brown: Ergodic theory and topological dynamics (= Pure and Applied Mathematics. 70). Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York/London, 1976.
• H. Furstenberg: Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. (= M. B. Porter Lectures). Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981, ISBN 0-691-08269-3.
• Daniel J. Rudolph: Fundamentals of measurable dynamics. Ergodic theory on Lebesgue spaces. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1990, ISBN 0-19-853572-4.
• Ya. G. Sinaĭ: Topics in ergodic theory (= Princeton Mathematical Series. 44). Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994, ISBN 0-691-03277-7.
• C. E. Silva: Invitation to ergodic theory (= Student Mathematical Library. 42). American Mathematical Society, Providence, RI, 2008, ISBN 978-0-8218-4420-5.
• Alexander S. Kechris: Global aspects of ergodic group actions (= Mathematical Surveys and Monographs. 160). American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, ISBN 978-0-8218-4894-4.
• Steven Kalikow, Randall McCutcheon: An outline of ergodic theory (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 122). Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-19440-2.