Relativ kompakte Teilmenge

Eine relativ kompakte Teilmenge (oder präkompakte Teilmenge) i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Topologie. Es handelt s​ich um e​ine Abschwächung d​es topologischen Begriffs d​es kompakten Raums.

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle A}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ heißt relativ kompakt, wenn ihr topologischer Abschluss ${\displaystyle {\overline {A}}}$ in ${\displaystyle X}$ kompakt ist. ${\displaystyle A}$ selbst muss dabei nicht kompakt sein. Ist jedoch ${\displaystyle A}$ bereits eine abgeschlossene Teilmenge von ${\displaystyle X}$, ist also ${\displaystyle A={\overline {A}}}$, so ist ${\displaystyle A}$ eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle X}$.

Manche Autoren beschreiben ein relativ kompaktes ${\displaystyle A\subset X}$ mittels ${\displaystyle A\subset \subset X}$.

Andere Charakterisierungen

• Es sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine (in Anwendungen häufig: offene) Teilmenge. Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq U}$ ist genau dann relativ kompakt in ${\displaystyle U}$, wenn ${\displaystyle A}$ beschränkt ist und der Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ den Rand von ${\displaystyle U}$ nicht trifft.
• Es seien allgemeiner ${\displaystyle U}$ eine Teilmenge eines Hausdorffraumes ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle U}$; weiter sei ${\displaystyle {\bar {A}}}$ der Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle X}$. Dann ist ${\displaystyle A}$ genau dann relativ kompakt in ${\displaystyle U}$, wenn ${\displaystyle {\bar {A}}}$ kompakt und in ${\displaystyle U}$ enthalten ist.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle A}$ eines metrischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist genau dann relativ kompakt, falls jede Folge in ${\displaystyle A}$ eine in ${\displaystyle X}$ konvergente Teilfolge hat.

Ein Beispiel

Als Beispiel s​oll eine Menge reeller Zahlen dienen (mit d​er üblichen euklidischen Topologie). Eine solche Menge reeller Zahlen i​st kompakt, w​enn jede unendliche Folge v​on Zahlen a​us dieser Menge e​ine unendliche Teilfolge enthält, d​ie einer weiteren Zahl „beliebig n​ahe kommt“, w​obei diese weitere Zahl a​uch zu dieser Menge gehören muss.

Die Menge ${\displaystyle A=(0,2)}$ aller reellen Zahlen zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 2}$ (aber ohne die Randpunkte ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 2}$) ist nicht kompakt, denn die unendliche Folge ${\displaystyle 1/1}$, ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle 1/3}$, ${\displaystyle 1/4}$, ... kommt zwar dem Häufungspunkt ${\displaystyle 0}$ beliebig nahe, aber die ${\displaystyle 0}$ gehört nicht mehr zu ${\displaystyle A}$ (dasselbe gilt auch für alle Teilfolgen).

Wie steht es aber mit der relativen Kompaktheit von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle U}$, wenn ${\displaystyle U}$ die Menge aller reellen Zahlen ist? Um ${\displaystyle A}$ zu einer kompakten Menge zu vergrößern, müssen die Häufungspunkte ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 2}$ (dem die Folge ${\displaystyle 1/1}$, ${\displaystyle 3/2}$, ${\displaystyle 5/3}$, ${\displaystyle 7/4}$, ... beliebig nahe kommt) hinzugenommen werden. Auf diese Weise erhält man den Abschluss von ${\displaystyle A}$, das ist die Menge ${\displaystyle [0,2]}$ aller reellen Zahlen von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle 2}$ (einschließlich dieser beiden Randpunkte). In der Tat ist dieser Abschluss kompakt, also ist ${\displaystyle A}$ relativ kompakt in ${\displaystyle U}$.

Während es zu ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle X={\mathbb {R} }}$) keine Randpunkte gibt, existiert zur Menge ${\displaystyle X_{+}}$ aller positiven reellen Zahlen der Randpunkt ${\displaystyle 0}$ (der aber nicht zu ${\displaystyle X_{+}}$ gehört). Weil der Abschluss ${\displaystyle [0,2]}$ diesen Randpunkt trifft, ist der Abschluss von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle X_{+}}$ gleich der Menge ${\displaystyle (0,2]}$ aller reellen Zahlen zwischen ${\displaystyle 0}$ (ausschließlich) und ${\displaystyle 2}$ (einschließlich). Diese Menge ist aber nicht kompakt (weil ihr wieder der Häufungspunkt ${\displaystyle 0}$ fehlt), ${\displaystyle A}$ ist also nicht relativ kompakt in ${\displaystyle X_{+}}$.

Anwendungen

Der Begriff d​er relativen Kompaktheit w​ird u. a. verwendet

• in der Definition des Begriffes kompakter Operator
• im Satz von Arzelà-Ascoli
• im Fixpunktsatz von Schauder.

Siehe auch

• Relative Folgenkompaktheit
• Totalbeschränktheit

Literatur

• Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.