Reguläre Menge

Eine reguläre Menge i​st in d​er Geometrie e​ine Teilmenge d​es euklidischen Raums, d​ie gleich d​em Abschluss i​hres Inneren ist. Eine reguläre Menge besitzt d​amit keine e​cht niederdimensionalen Teile u​nd enthält vollständig i​hren Rand. Durch Regularisierung können a​uf regulären Mengen reguläre Mengenoperationen, w​ie Schnitt, Vereinigung, Differenz u​nd Komplement, definiert werden. Reguläre Mengen werden insbesondere i​n der geometrischen Modellierung u​nd in d​er Computergrafik verwendet, i​n einem allgemeineren Kontext werden s​ie auch i​n der Topologie betrachtet.

Eine reguläre Menge (blau) in der Ebene enthält vollständig ihren Rand (dunkelblau) und besitzt keine echt eindimensionalen Teile

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ des euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ heißt regulär, wenn

${\displaystyle S={\overline {S^{\circ }}}}$

gilt, wobei ${\displaystyle X^{\circ }}$ das Innere und ${\displaystyle {\overline {X}}}$ den Abschluss einer Menge ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnen.[1][2] Eine reguläre Menge wird also dadurch charakterisiert, dass sie gleich dem Abschluss ihres Inneren ist. Die Menge der regulären Mengen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wird mit ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{n}}$ bezeichnet.

Beispiele

Beispiele für reguläre Mengen sind:

• abgeschlossene Intervalle auf der Zahlengeraden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$
• geometrische Figuren in der euklidischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, wie Polygone, Kreisscheiben oder Ellipsen
• geometrische Körper im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, wie Polyeder, Zylinder oder Kugeln
• Polytope, Kegel und abgeschlossene Halbräume im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• die leere Menge und der ganze Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Eigenschaften

Reguläre Mengen besitzen folgende Eigenschaften:

• Eine reguläre Menge ${\displaystyle S\in {\mathcal {R}}_{n}}$ ist vollständig ${\displaystyle n}$-dimensional, sie besitzt also keine Teile niedrigerer Dimension.
• Eine reguläre Menge ${\displaystyle S}$ ist abgeschlossen, sie enthält also stets ihren kompletten Rand ${\displaystyle \partial S}$.
• Eine reguläre Menge muss nicht zusammenhängend sein, sondern kann auch aus mehreren Komponenten bestehen. Sie kann auch Löcher oder Hohlräume aufweisen.
• Eine reguläre Menge kann auch unbeschränkt sein.

Operationen

Regularisierung

Beispiel für eine Regularisierung

Unter der Regularisierung einer Menge ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ versteht man die Operation

${\displaystyle \operatorname {reg} \colon {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {R}}_{n},\quad X\mapsto {\overline {X^{\circ }}}}$,

wobei ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ die Potenzmenge darstellt. Durch Regularisierung wird demnach einer Menge ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ die zugehörige reguläre Menge ${\displaystyle \operatorname {reg} (X)\in {\mathcal {R}}_{n}}$ zugeordnet. Eine reguläre Menge ${\displaystyle S\in {\mathcal {R}}_{n}}$ ist gerade dadurch charakterisiert, dass sie gleich ihrer eigenen Regularisierung ist, also ${\displaystyle \operatorname {reg} (S)=S}$ gilt.[1]

Reguläre Mengenoperationen

Konstruktive Festkörpergeometrie mit regulären Mengenoperationen

Mit Hilfe der Regularisierungsoperation ${\displaystyle \operatorname {reg} }$ lassen sich die folgenden regulären Mengenoperationen ${\displaystyle \cup ^{\ast },\cap ^{\ast },\setminus ^{\ast }\colon {\mathcal {R}}_{n}\times {\mathcal {R}}_{n}\to {\mathcal {R}}_{n}}$ für die Vereinigung, den Schnitt und die Differenz zweier regulärer Mengen ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {R}}_{n}}$ definieren:[1][2]

${\displaystyle S\cup ^{\ast }T=\operatorname {reg} (S\cup T)=S\cup T}$

${\displaystyle S\cap ^{\ast }T=\operatorname {reg} (S\cap T)}$

${\displaystyle S\setminus ^{\ast }T=\operatorname {reg} (S\setminus T)}$

Hinzu kommt die reguläre Komplementbildung ${\displaystyle \mathrm {C} ^{\ast }\colon {\mathcal {R}}_{n}\to {\mathcal {R}}_{n}}$ einer Menge ${\displaystyle S\in {\mathcal {R}}_{n}}$:

${\displaystyle \mathrm {C} ^{\ast }S=\operatorname {reg} (\mathrm {C} \,S)}$

Die regulären Mengen ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{n}}$ sind unter diesen regulären Mengenoperationen abgeschlossen. Das Tupel ${\displaystyle ({\mathcal {R}}_{n},\cup ^{\ast },\cap ^{\ast },\mathrm {C} ^{\ast })}$ stellt auch eine boolesche Algebra dar. Im dreidimensionalen Raum bilden die regulären Mengenoperationen das Grundgerüst für die konstruktive Festkörpergeometrie (Constructive Solid Geometry).[3]

Verallgemeinerung

Reguläre Mengen können allgemeiner auch in topologischen Räumen betrachtet werden. Eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq X}$ eines topologischen Raums ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ heißt dabei regulär abgeschlossen, falls

${\displaystyle S={\overline {S^{\circ }}}}$

gilt, u​nd regulär offen, falls

${\displaystyle S={\overline {S}}^{\circ }}$

gilt. Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist dabei genau dann regulär abgeschlossen, wenn ihr Komplement regulär offen ist.[4] Mit der Halbordnung ${\displaystyle \subseteq }$ und den entsprechenden regulären Mengenoperationen bilden sowohl die regulär offenen, als auch die regulär abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums jeweils eine vollständige boolesche Algebra.[5] Ein topologischer Raum, dessen regulär offene Teilmengen eine Basis des Raums bilden, heißt halbregulär.[6] Jeder reguläre Raum, also jeder topologische Raum, in dem alle Punkte Umgebungsbasen aus abgeschlossenen Mengen besitzen, ist auch halbregulär und besitzt damit auch eine Basis aus regulär offenen Teilmengen.

Literatur

• Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel, Christoph Zenger: Einführung in die Computergrafik: Grundlagen, Geometrische Modellierung und Algorithmen. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-92925-9.
• Beat Brüderlin, Andreas Meier: Computergrafik und Geometrisches Modellieren. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-80111-1.
• James D. Foley, Andries van Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley, 1996, ISBN 978-0-201-84840-3.

Einzelnachweise

1. Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel, Christoph Zenger: Einführung in die Computergrafik. Springer, 2013, S. 55.
2. Beat Brüderlin, Andreas Meier: Computergrafik und Geometrisches Modellieren. Springer, 2013, S. 196.
3. James D. Foley, Andries van Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes: Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley, 1996, S. 535–539.
4. K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Elsevier, 2003, S. 8.
5. Roman Sikorski: Boolean Algebras. Springer, 2013, S. 66.
6. Pavel S. Aleksandrov: Lehrbuch der Mengenlehre. 7. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-1657-8, S. 122.

Weblinks

• M.I. Voitsekhovskii: Canonical set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Cwoo: Regular open set. In: PlanetMath. (englisch)