Komplement (Mengenlehre)

In d​er Mengentheorie u​nd anderen Teilgebieten d​er Mathematik s​ind zwei verschiedene Komplemente definiert: Das relative Komplement u​nd das absolute Komplement.

∁

Relatives Komplement

Definition

Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Mengen, dann ist das relative Komplement, auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz genannt, die Menge genau der Elemente aus ${\displaystyle B}$, welche nicht in ${\displaystyle A}$ enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

${\displaystyle B\setminus A:=\left\{x\in B\mid x\not \in A\right\}}$

und man sagt „${\displaystyle B}$ ohne ${\displaystyle A}$“ oder „relatives Komplement von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$“. Das Komplement entspricht also der Subtraktion von Mengen. „Relativ“ heißt es deshalb, weil das Komplement einer Menge ${\displaystyle A}$ stets in Relation zu einer weiteren Menge ${\displaystyle B}$ angegeben wird.

Das relative Komplement kann auch so definiert werden, dass ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle B}$ sein soll. Grund hierfür ist, dass für die Definition des Komplements nur diejenigen Elemente in ${\displaystyle A}$ von Relevanz sind, die gleichzeitig auch Elemente in ${\displaystyle B}$ sind. Die Definitionen sind insofern äquivalent, als dass für beliebige Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ stets ${\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)}$ gilt, d. h. es gibt mit ${\displaystyle A\cap B}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle B}$, deren Komplement in ${\displaystyle B}$ dem Komplement von ${\displaystyle A}$ (welches nicht notwendigerweise Teilmenge von ${\displaystyle B}$ ist) in ${\displaystyle B}$ entspricht.

Beispiele

• ${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\setminus \left\{2,3\right\}=\left\{1\right\}}$
• ${\displaystyle \left\{2,3,4\right\}\setminus \left\{2,3\right\}=\left\{4\right\}}$
• Für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reelle Zahlen) und ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (rationale Zahlen), ist ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ die Menge der irrationalen Zahlen.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

• ${\displaystyle C\setminus \left(A\cap B\right)=\left(C\setminus A\right)\cup \left(C\setminus B\right)}$
• ${\displaystyle C\setminus \left(A\cup B\right)=\left(C\setminus A\right)\cap \left(C\setminus B\right)}$
• ${\displaystyle C\setminus \left(B\setminus A\right)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$
• ${\displaystyle \left(B\setminus A\right)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$
• ${\displaystyle \left(B\setminus A\right)\cup C=(B\cup C)\setminus \left(A\setminus C\right)}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset }$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A}$

Absolutes Komplement

Definition

Das Komplement von A in U

Ist ein Universum ${\displaystyle U}$ definiert, so wird für jede Menge ${\displaystyle A\subseteq U}$ das relative Komplement von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle U}$ auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von ${\displaystyle A}$ genannt und als ${\displaystyle A^{\rm {C}}}$ (manchmal auch als ${\displaystyle A'}$, oder auch als ${\displaystyle {\bar {A}}}$, ${\displaystyle \complement _{U}A}$ bzw. ${\displaystyle \complement A}$ wenn ${\displaystyle U}$ fest ist) notiert, es ist also:

${\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}$

Beispiel

Ist d​as Universum z​um Beispiel d​ie Menge d​er natürlichen Zahlen, s​o ist d​as (absolute) Komplement d​er Menge d​er geraden Zahlen d​ie Menge d​er ungeraden Zahlen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist häufig der Ergebnisraum ${\displaystyle \Omega }$ als Universum gesetzt. Für ein Ereignis ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ ist dessen Gegenereignis ${\displaystyle {\bar {A}}}$ das Komplement von ${\displaystyle A}$. Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses „Würfel zeigt eine 5 oder 6“ das Ereignis „Würfel zeigt eine Zahl kleiner/gleich 4“.

Eigenschaften

Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen Vereinigung und Durchschnitt aufgelistet. Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Teilmengen des Universums ${\displaystyle U}$, dann gelten folgende Identitäten:

De Morgansche Regeln:

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\rm {C}}=A^{\rm {C}}\cap B^{\rm {C}}}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\rm {C}}=A^{\rm {C}}\cup B^{\rm {C}}}$

Komplementgesetze:

• ${\displaystyle A\cup A^{\rm {C}}=U}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\rm {C}}=\emptyset }$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\rm {C}}=U}$
• ${\displaystyle U^{\rm {C}}=\emptyset }$
• Ist ${\displaystyle A\subseteq B}$, so ist ${\displaystyle B^{\rm {C}}\subseteq A^{\rm {C}}}$

Involution:

• ${\displaystyle (A^{\rm {C}})^{\rm {C}}=A}$

Beziehungen zwischen relativen u​nd absoluten Komplementen:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\rm {C}}}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\rm {C}}=A^{\rm {C}}\cup B}$

Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn ${\displaystyle A}$ eine echte nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle U}$ ist, ${\displaystyle \{A,A^{\rm {C}}\}}$ eine Partition von ${\displaystyle U}$ ist.

Siehe auch

• Dualitätsprinzip der Mengenlehre

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.