Duale Basis

Die duale Basis i​st ein Begriff a​us der linearen Algebra, d​er in z​wei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt:

• Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums ${\displaystyle V}$ wird eine zugehörige duale Basis des Dualraums ${\displaystyle V^{*}}$ konstruiert.
• Zu einer gegebenen Basis eines euklidischen Vektorraums ${\displaystyle V}$ wird eine weitere, zur ersten duale Basis von ${\displaystyle V}$ konstruiert.

Duale Basis im Dualraum V*

Definition

Es sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$. (In Anwendungen ist der Körper oft ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$.) Weiter sei ${\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$.

Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ genau eine lineare Abbildung ${\displaystyle e_{i}^{*}:V\rightarrow K}$ mit ${\displaystyle e_{i}^{*}(e_{i})=1}$ und ${\displaystyle e_{i}^{*}(e_{j})=0}$ für ${\displaystyle j\neq i}$, denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten ${\displaystyle e_{i}^{*}}$ bilden eine Basis des Dualraums ${\displaystyle V^{*}}$, die zur Basis ${\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}$ von ${\displaystyle V}$ duale Basis. Mit der Kronecker-Delta-Schreibweise, ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis ${\displaystyle e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}}$.

Verhalten bei Basiswechsel

Sei ${\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \{e_{1}^{*},\dotsc ,e_{n}^{*}\}}$ die zugehörige duale Basis. Weiter sei ${\displaystyle \{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}}$ eine zweite Basis von ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle a_{j}=\sum _{k}A_{kj}e_{k}}$.

Als Matrix eines Basiswechsels ist ${\displaystyle A}$ invertierbar. Die Komponenten der Inversen ${\displaystyle A^{-1}}$ seien mit ${\displaystyle A_{ik}^{-1}}$ bezeichnet. Ein Vergleich von

${\displaystyle \sum _{k}A_{ik}^{-1}{e}_{k}^{*}(a_{j})=\sum _{k}A_{ik}^{-1}A_{kj}=\delta _{ij}}$

mit der definierenden Eigenschaft ${\displaystyle a_{i}^{*}(a_{j})=\delta _{ij}}$ ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis:

${\displaystyle a_{i}^{*}=\sum _{k}A_{ik}^{-1}e_{k}^{*}}$.

Berechnung bezüglich einer festen Basis

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension ${\displaystyle n}$ über dem Körper ${\displaystyle K}$ ist stets isomorph zum Koordinatenraum ${\displaystyle K^{n}}$ der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle K}$. Wählt man als Isomorphismus

${\displaystyle e_{1}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle e_{1}^{*}\mapsto \left(1,0,0,\dotsc \right)}$ usw.,

wird ${\displaystyle a_{i}^{*}}$ gemäß obigem abgebildet auf die i-te Zeile von ${\displaystyle A^{-1}}$.

Tensor-Schreibweise

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes, ${\displaystyle (e^{i})_{i}}$, nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, ${\displaystyle (e_{i})_{i}}$. Die definierende Bedingung lautet dann ${\displaystyle e^{j}e_{i}=\delta _{i}^{j}}$.

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist ${\displaystyle L}$ die lineare Transformation, die eine Basis ${\displaystyle (e^{i})_{i}}$ auf eine andere ${\displaystyle (e'^{i})_{i}}$ abbildet, so gilt:

${\displaystyle \delta _{i}^{j}=e^{j}e_{i}=e^{j}L^{-1}Le_{i}=e^{j}L^{-1}e'^{i}}$

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels ${\displaystyle L^{-1}}$ transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa ${\displaystyle L=(l_{\ j}^{i})}$ und ist ${\displaystyle L^{-1}=({\tilde {l}}_{\ j}^{i})}$, so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor ${\displaystyle v=\lambda _{i}e^{i}}$:

${\displaystyle v=\lambda _{i}e^{i}=\lambda _{i}\delta _{j}^{i}e^{j}=\lambda _{i}{\tilde {l}}_{\ k}^{i}l_{\ j}^{k}e^{j}=\lambda _{i}{\tilde {l}}_{\ k}^{i}e'^{k}}$.

Der Koeffizient von ${\displaystyle v}$ zum Basisvektor ${\displaystyle e'^{k}}$ ist also ${\displaystyle \lambda _{i}{\tilde {l}}_{\ k}^{i}}$, das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels ${\displaystyle L}$ transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels ${\displaystyle L^{-1}}$ transformieren, mit unteren Indizes.

Duale Basis im euklidischen Vektorraum V

Definition und Berechnung

Sei ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{1},\dotsc ,{\vec {a}}_{n}\}}$ eine beliebige Basis eines euklidischen Vektorraums ${\displaystyle V}$. Die dazu duale Basis ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{1}^{*},\dotsc ,{\vec {a}}_{n}^{*}\}}$ in ${\displaystyle V}$ ist definiert durch die Eigenschaft

${\displaystyle {\vec {a}}_{i}^{*}\cdot {\vec {a}}_{j}=\delta _{ij}}$,

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \cdot }$ das Skalarprodukt.

Weiter sei ${\displaystyle \{{\hat {e}}_{1},\dotsc ,{\hat {e}}_{n}\}}$ eine Orthonormalbasis in ${\displaystyle V}$,   ${\displaystyle \textstyle {\vec {a}}_{j}=\sum _{k}A_{kj}{\hat {e}}_{k}}$ beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix ${\displaystyle A}$. Durch Vergleichen von

${\displaystyle (\sum _{k}A_{ik}^{-1}{\hat {e}}_{k})\cdot {\vec {a}}_{j}=\sum _{k}A_{ik}^{-1}A_{kj}=\delta _{ij}}$

mit ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}^{*}\cdot {\vec {a}}_{j}=\delta _{ij}}$ ergibt sich

${\displaystyle {\vec {a}}_{i}^{*}=\sum _{k}A_{ik}^{-1}{\hat {e}}_{k}}$.

Mit dem dyadischen Produkt ${\displaystyle \otimes }$ schreibt sich das:

${\displaystyle A=\sum _{k}{\vec {a}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}\quad \Leftrightarrow \quad A^{-1}=\sum _{k}{\hat {e}}_{k}\otimes {\vec {a}}_{k}^{*}}$

Die Vektoren ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{1},\dotsc ,{\vec {a}}_{n}\}}$ bilden hier die Spalten der Matrix (oder des Tensors zweiter Stufe) ${\displaystyle A}$ und die duale Basis findet sich in den Zeilen der Inversen ${\displaystyle A^{-1}.}$

Spezialfall R³

Im Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit Standardskalarprodukt ${\displaystyle \cdot }$ und Kreuzprodukt ${\displaystyle \times }$ findet sich mit obiger Gleichung und der Formel für Matrizeninversion:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}_{1}^{*}=&{\frac {{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}}{{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})}}={\frac {{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}}\\{\vec {a}}_{2}^{*}=&{\frac {{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}}{{\vec {a}}_{2}\cdot ({\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1})}}={\frac {{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}}\\{\vec {a}}_{3}^{*}=&{\frac {{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}}{{\vec {a}}_{3}\cdot ({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2})}}={\frac {{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}}\end{aligned}}}$

Im Nenner d​er Brüche s​teht das m​it den Basisvektoren gebildete Spatprodukt, d​as invariant gegenüber e​iner zyklischen Vertauschung seiner Argumente ist, u​nd das gleich d​er Determinante d​er Matrix ist, d​ie aus d​en Basisvektoren gebildet wird. Die definierende Eigenschaft i​st hier sofort ersichtlich.

Anwendung aus der Kristallographie

Die Bestimmung dieser dualen Basis im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort bilden die primitiven Gittervektoren ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}\}}$ eine (i. A. nicht orthonormale) Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der reziproken Basis ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}}$ und primitiven Gittervektoren ${\displaystyle {\vec {a}}_{j}}$ ist in der kristallographischen Konvention:

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}=\delta _{ij}}$,

${\displaystyle \{{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}\}}$ ist also die zu ${\displaystyle \{{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}\}}$ duale Basis im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren d​es kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

${\displaystyle {\vec {a}}_{1}={\frac {a}{2}}\left({\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z}\right)}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{2}={\frac {a}{2}}\left({\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{z}\right)}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{3}={\frac {a}{2}}\left({\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{y}\right)}$

Obige Gleichungen für den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ergeben:

${\displaystyle {\vec {b}}_{1}={\frac {1}{a}}\left(-{\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z}\right)}$

${\displaystyle {\vec {b}}_{2}={\frac {1}{a}}\left({\hat {e}}_{x}-{\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z}\right)}$

${\displaystyle {\vec {b}}_{3}={\frac {1}{a}}\left({\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{y}-{\hat {e}}_{z}\right)}$

Diese bilden e​in kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter.

Verallgemeinerung auf pseudo-riemannsche Metrik

Im endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ mit pseudo-riemannscher Metrik ${\displaystyle g}$ und einer Basis ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dotsc ,{\vec {e}}_{n}\}}$ betrachte den Dualvektor ${\displaystyle \alpha _{i}}$ definiert durch

${\displaystyle \alpha _{i}({\vec {v}}):=e_{1}^{*}\wedge e_{2}^{*}\wedge \dotsc \wedge e_{n}^{*}({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dotsc ,{\vec {e}}_{i-1},{\vec {v}},{\vec {e}}_{i+1},\dotsc ,{\vec {e}}_{n})}$.

Dann gilt

${\displaystyle g({\vec {e}}_{i}^{*},{\vec {e}}_{j})=\delta _{ij}}$   mit ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}^{*}:=\sharp \alpha _{i}}$.

Dabei ist ${\displaystyle e_{i}^{*}}$ der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung, ${\displaystyle \wedge }$ das äußere Produkt und ${\displaystyle \sharp }$ der durch die pseudo-riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen ${\displaystyle V^{*}}$ und ${\displaystyle V}$.

Siehe auch

• Dualraum

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1991, ISBN 3-326-00083-9.