Rechtssystem (Mathematik)

Als Rechtssystem bzw. rechtshändiges Koordinatensystem werden i​n der Mathematik u​nd Physik gewisse Systeme (mit e​iner festgelegten Reihenfolge) v​on zwei Vektoren i​n der Ebene bzw. d​rei Vektoren i​m Raum bezeichnet.

Achsenorientierung und Drehsinn linkshändiger und rechtshändiger Koordinatensysteme

Rechtssystem in der Ebene

Ein Rechtssystem in der Ebene sind zwei Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}}$, bei denen ${\displaystyle {\vec {y}}}$ aus ${\displaystyle {\vec {x}}}$ auf kürzestem Wege durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, d. h. im mathematisch positiven Drehsinn, hervorgeht.

Rechtssystem im Raum

Ein Rechtssystem im dreidimensionalen Raum sind drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}}$ und ${\displaystyle {\vec {z}}}$, wenn vom Endpunkt des Vektors ${\displaystyle {\vec {z}}}$ aus gesehen die Vektoren ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}}$ ein Rechtssystem in der Ebene bilden.

Rechtssystem im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ein Rechtssystem ist allgemein ein geordnetes Tupel ${\displaystyle ({\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n})}$ von Spaltenvektoren der Dimension ${\displaystyle n}$, so dass die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{n}}$ positiv ist.

Für ${\displaystyle n=2}$ und ${\displaystyle n=3}$ ist dies äquivalent zu obigen Definitionen.

Linkssysteme

Für Linkssysteme bzw. linkshändige Koordinatensysteme g​ilt jeweils d​as Umgekehrte. In d​er Ebene g​eht der e​rste Vektor d​urch Drehung im Uhrzeigersinn, d. h. mathematisch negativen Drehsinn a​uf kürzestem Weg a​us dem zweiten Vektor hervor, s​o wie e​r selbst seinerseits a​uf kürzestem Weg d​urch Drehung im Uhrzeigersinn i​n den zweiten Vektor überführt wird.[1]

Ein Linkssystem i​n einem Vektorraum i​st ein geordnetes Tupel v​on Spaltenvektoren, b​ei dem d​ie dazugehörige Matrix e​ine negative Determinante hat. Dementsprechend i​st ein Linkssystem i​m dreidimensionalen Raum e​in geordnetes Tripel v​on Vektoren, für d​ie das o​bige Spatprodukt negativ ist.

Regeln

Ob d​rei Vektoren e​in Rechts- o​der Linkssystem bilden, lässt s​ich mit Hilfe folgender Regeln bestimmen:

• mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (auch Rechte-Hand-Regel): Zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung des ersten Vektors und der ausgestreckte Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, zeigt der rechtwinklig zu Daumen und Zeigefinger abgespreizte Mittelfinger bei einem Rechtssystem in Richtung des dritten Vektors (das funktioniert auch bei zyklischer Vertauschung der Finger oder Vektoren: ${\displaystyle x-y-z,y-z-x,z-x-y}$).
• mit der Schrauben- oder Korkenzieherregel: Wird der erste Vektor so gedreht, dass er dabei auf kürzestem Wege in den zweiten Vektor überführt wird, bewegt sich, sofern alle drei Vektoren ein Rechtssystem bilden, eine im gleichen Sinn gedrehte Schraube mit Rechtsgewinde in Richtung des dritten Vektors.[2]

Für 2-dimensionale Systeme kann eine der Drei-Finger-Regel analoge Regel wie folgt formuliert werden: Zeigt der Daumen der nach oben geöffneten rechten Hand in die positive ${\displaystyle x}$-Richtung, zeigen bei einem rechtshändigen System alle übrigen Finger in die positive ${\displaystyle y}$-Richtung – tun sie es nicht, handelt es sich um ein linkshändiges System.

Beispiele

• Die Achsen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems bilden in seiner üblichen Achsenorientierung (z. B. ${\displaystyle x}$-Achse zum Betrachter, ${\displaystyle y}$-Achse nach rechts, ${\displaystyle z}$-Achse nach oben; ebenso ${\displaystyle x}$-Achse nach rechts, ${\displaystyle y}$-Achse in die Perspektive und ${\displaystyle z}$-Achse nach oben) ein Rechtssystem.
• Das geodätische Koordinatensystem ist dagegen, dem Drehsinn beim Kompass folgend, ein Linkssystem.
• Ein ebenfalls weitverbreitetes Linkssystem ist das der Pixelkoordinaten bei Grafikprogrammen, bei denen der Koordinatenursprung (0|0) üblicherweise in der linken oberen Bildschirmecke liegt und die ${\displaystyle x}$-Koordinaten (Grafikspalten) von dort aus nach rechts, die ${\displaystyle y}$-Koordinaten (Grafikzeilen) dagegen nach unten gezählt werden, die Koordinaten eines Bildpunkts also zu seiner Bildschirmdarstellung zunächst einmal stets einer entsprechenden Koordinatentransformation unterzogen werden müssen.
• Bei der Rotation eines Körpers bilden der Radialvektor, die Tangentialgeschwindigkeit und der Drehimpuls ein Rechtssystem.
• Bei der Auslenkung eines stromdurchflossenen Leiters in einem Magnetfeld (Leiterschaukel-Versuch) bilden die technische Stromrichtung, die Magnetfeldlinien und die Wirkungsrichtung der Lorentzkraft ein Rechtssystem.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S. 342–343.
2. Fast alle praktisch verwendeten Schrauben besitzen Rechtsgewinde - solche mit Linksgewinde dagegen finden nur selten Anwendung, z. B. in Spannschlössern