Funktionalkalkül

Funktionalkalküle s​ind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel z​ur Untersuchung v​on Banachalgebren. Im Rahmen d​er Operatortheorie i​st hier insbesondere d​ie Banachalgebra d​er beschränkten linearen Operatoren v​on Interesse. Zur Behandlung v​on unbeschränkten linearen Operatoren werden verallgemeinerte Funktionalkalküle betrachtet, b​ei denen z​war grundlegende algebraische Strukturen verlorengehen, d​ie aber dennoch e​in effektives Werkzeug z​um Rechnen m​it unbeschränkten Operatoren z​ur Verfügung stellen.

Ist ${\displaystyle p(z)=\lambda _{n}z^{n}+\ldots +\lambda _{1}z+\lambda _{0}}$ ein komplexes Polynom und ${\displaystyle a}$ ein Element einer ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement ${\displaystyle e}$, so kann man ${\displaystyle a}$ in das Polynom ${\displaystyle p}$ einsetzen, indem man ${\displaystyle p(a)=\lambda _{n}a^{n}+\ldots +\lambda _{1}a+\lambda _{0}e}$ setzt. Die Grundidee der Funktionalkalküle besteht darin, dieses Einsetzen in Polynome auf größere Klassen von Funktionen auszudehnen. Für beliebige ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebren ${\displaystyle A}$ mit Einselement kann ein Element ${\displaystyle a\in A}$ in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums von ${\displaystyle a}$ definiert sind, eingesetzt werden. Für noch größere Funktionsklassen, etwa stetige oder messbare Funktionen, die auf dem Spektrum von ${\displaystyle a}$ erklärt sind, muss man sich auf spezielle Klassen von Banachalgebren beschränken, und zwar auf C^*-Algebren bzw. Von-Neumann-Algebren. Dazu muss natürlich erklärt werden, was dieses Einsetzen in Funktionen überhaupt bedeuten soll.

Polynome

Elemente ${\displaystyle a}$ einer ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement ${\displaystyle e}$ können, wie in der Einleitung erwähnt, direkt in Polynome ${\displaystyle p\in {\mathbb {C} }[z]}$ eingesetzt werden. Sind ${\displaystyle p,q\in {\mathbb {C} }[z]}$ Polynome, so gilt

${\displaystyle (p+q)(a)\,=\,p(a)+q(a)}$.

Man beachte die unterschiedlichen Rollen des Pluszeichens; auf der linken Seite werden Polynome addiert, auf der rechten Seite Elemente einer Banachalgebra. Entsprechend gilt

${\displaystyle (p\cdot q)(a)=p(a)\cdot q(a)}$,

${\displaystyle (p\circ q)(a)=p(q(a))}$.

Bezeichnet ${\displaystyle \sigma (a)}$ das Spektrum von ${\displaystyle a}$, so gilt der spektrale Abbildungssatz

${\displaystyle \sigma (p(a))\,=\,p(\sigma (a))}$.

Auf der linken Seite dieser Formel steht das Spektrum des Banachalgebren-Elementes ${\displaystyle p(a)}$, auf der rechten Seite steht das Bild des Spektrums von ${\displaystyle a}$ unter der Polynom-Abbildung ${\displaystyle p:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$. Der Beweis des spektralen Abbildungssatzes benutzt wesentlich, dass nicht-konstante Polynome eine Nullstelle haben, d. h., es wird der Fundamentalsatz der Algebra verwendet. Dies erklärt die Einschränkung auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebren.

Diese Situation ist aus der linearen Algebra wohlbekannt. Bei der Untersuchung der Diagonalisierbarkeit oder der Jordanschen Normalform werden ebenfalls Banachalgebren-Elemente, nämlich quadratische Matrizen, in Polynome eingesetzt. Beispielsweise besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass man die Nullmatrix erhält, wenn man eine quadratische Matrix in ihr eigenes charakteristisches Polynom einsetzt.

Zur Ausdehnung des Einsetzens auf größere Funktionsklassen betrachten wir das Einsetzen von ${\displaystyle a\in A}$ in Polynome als Abbildung

${\displaystyle \Phi _{a}:{\mathbb {C} }[z]\rightarrow A,\,\,p\mapsto p(a)}$.

Dann ist ${\displaystyle \Phi _{a}}$ ein Algebren-Homomorphismus, der sogenannte Einsetzungshomomorphismus von ${\displaystyle a}$, und es gilt ${\displaystyle \Phi _{a}(1)=e}$ sowie ${\displaystyle \Phi _{a}(z)=a}$. Hat man umgekehrt einen solchen Homomorphismus ${\displaystyle \Phi _{a}}$ von einer größeren Funktionsklasse in die Banachalgebra ${\displaystyle A}$ und ist ${\displaystyle f}$ eine Funktion dieser Klasse, so kann man die Einsetzung von ${\displaystyle a}$ in die Funktion ${\displaystyle f}$ durch die Formel ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$ definieren.

Funktionalkalküle

Die weitere Ausarbeitung d​er hier vorgestellten Ideen führt z​u unterschiedlichen Funktionalkalkülen, d​ie nach d​er verwendeten Funktionsklasse benannt sind. Als plausible Faustregel k​ann man sagen, d​ass mit größer werdenden Funktionsklassen d​ie Situationen, i​n denen zugehörige Funktionalkalküle eingesetzt werden können, spezieller werden. Typische Anwendungsbeispiele werden i​n den Artikeln z​u den einzelnen Funktionalkalkülen behandelt.

• holomorpher Funktionalkalkül für beliebige Banachalgebren
• holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher für kommutative Banachalgebren
• stetiger Funktionalkalkül für C*-Algebren
• beschränkter Borel-Funktionalkalkül für Von-Neumann-Algebren
• unbeschränkter Borel-Funktionalkalkül für dicht-definierte selbstadjungierte Operatoren

Weblinks

• Functional calculus (Encyclopedia of Mathematics)

Quellen

• J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0123933013
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)