Shiftoperator

Shiftoperatoren (Shift-Operatoren, Verschiebeoperatoren, Verschiebungsoperatoren) werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtet. Beim unilateralen Shiftoperator (s. u.) handelt e​s sich u​m einen konkreten nichtnormalen Operator a​uf einem Hilbertraum. Dieser Operator h​at viele Eigenschaften, z​u denen e​s keine endlichdimensionale Entsprechung gibt.

Definition

Ein unendlichdimensionaler separabler Hilbertraum ist nach dem Satz von Fischer-Riesz isometrisch isomorph zu ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}(I):=\{(a_{i})_{i\in I}\in {\mathbb {C} }^{I};\,\sum _{i\in I}|a_{i}|^{2}<\infty \}}$, wobei ${\displaystyle I}$ eine abzählbar unendliche Menge ist, zum Beispiel ${\displaystyle I={\mathbb {Z} }}$ oder ${\displaystyle I={\mathbb {N} }}$. Der Operator

${\displaystyle W:\ell ^{2}({\mathbb {Z} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {Z} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {Z} }}\mapsto (a_{n-1})_{n\in {\mathbb {Z} }}}$

heißt bilateraler Shiftoperator.

${\displaystyle S:\ell ^{2}({\mathbb {N} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

heißt unilateraler Shiftoperator. Die Bezeichnung Shiftoperator rührt daher, d​ass diese Operatoren d​ie Folgenglieder u​m eine Indexposition verschieben. Beim bilateralen Shiftoperator s​ind Indizes a​uf beiden Seiten d​er Null betroffen, positive w​ie negative, b​eim unilateralen Shiftoperator n​ur die Indizes e​iner Seite, nämlich n​ur die positiven. In d​er mathematischen Literatur s​teht Shiftoperator, o​hne weiteren Zusatz, i​n der Regel für d​en unilateralen Shiftoperator. Oft lässt m​an auch d​en Wortbestandteil Operator f​ort und spricht einfach v​om Shift.

Fasst man ${\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}$ als Unterraum von ${\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {Z} })}$ auf, indem man ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ mit ${\displaystyle (\ldots ,0,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ identifiziert, so sieht man, dass ${\displaystyle S=W|_{\ell ^{2}({\mathbb {N} })}}$ ist, das heißt, der unilaterale Shiftoperator ist eine Einschränkung des bilateralen Shiftoperators.

Der bilaterale Shift

Der bilaterale Shift ${\displaystyle W}$ ist ein unitärer Operator, die Umkehrung ist der adjungierte Operator

${\displaystyle W^{*}:\ell ^{2}({\mathbb {Z} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {Z} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {Z} }}\mapsto (a_{n+1})_{n\in {\mathbb {Z} }}}$.

Das Spektrum des bilateralen Shifts ist die gesamte Kreislinie, das heißt ${\displaystyle \sigma (W)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}$. Kein Element des Spektrums ist ein Eigenwert.

Der unilaterale Shift

Der unilaterale Shift ${\displaystyle S}$ ist eine Isometrie, die nicht surjektiv ist, denn das Bild ist die Menge aller Folgen aus ${\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}$, deren erste Komponente 0 ist. Damit ist ${\displaystyle S}$ ein injektiver linearer Operator, der nicht surjektiv ist; dies ist ein Phänomen, das in der Theorie der endlichdimensionalen Räume, das heißt in der linearen Algebra, nicht vorkommt.

Der adjungierte Operator ist

${\displaystyle S^{*}\colon \ell ^{2}({\mathbb {N} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}\mapsto (a_{2},a_{3},\ldots )}$.

Damit folgt sofort ${\displaystyle S^{*}S=id}$ und ${\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}$, wobei letzteres für die Orthogonalprojektion auf das Bild von ${\displaystyle S}$ steht. Insbesondere ist ${\displaystyle S}$ nicht normal. Man kann sogar zeigen, dass der Shiftoperator von jedem unitären Operator genau den maximal möglichen Normabstand 2 hat.

Das Spektrum des Shiftoperators

Das Spektrum von ${\displaystyle S}$ ist die volle Kreisscheibe: ${\displaystyle \sigma (S)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |\leq 1\}}$. Keiner der Spektralpunkte ist ein Eigenwert. Die Spektralpunkte ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle |\lambda |=1}$ sind aber sogenannte approximative Eigenwerte, das heißt, es gibt eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ von Vektoren mit Norm 1, so dass ${\displaystyle \|Sx_{n}-\lambda x_{n}\|\to 0}$. Für die inneren Spektralpunkte ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle |\lambda |<1}$ gilt das nicht.

Das Spektrum des adjungierten Operators ${\displaystyle S^{*}}$ ist ebenfalls die volle Kreisscheibe und der Kreisrand besteht ebenfalls aus lauter approximativen Eigenwerten, die keine echten Eigenwerte sind. Die inneren Spektralpunkte ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle |\lambda |<1}$ sind sämtlich Eigenwerte von ${\displaystyle S^{*}}$. Die zugehörigen Eigenräume sind alle eindimensional, der Eigenraum zu ${\displaystyle \lambda }$ wird von ${\displaystyle (1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\ldots )}$ erzeugt.

Der Shiftoperator als Fredholm-Operator

Der Shiftoperator ${\displaystyle S}$ ist ein Fredholm-Operator mit ${\displaystyle \mathrm {ind} (S)=\mathrm {dim} (\mathrm {ker} (S))-\mathrm {codim} (\mathrm {im} (S))=-1}$. Daher ist das Bild ${\displaystyle \pi (S)}$ in der Calkin-Algebra unitär, was man aber auch ohne den Begriff des Fredholm-Operators den Formeln ${\displaystyle S^{*}S=id}$ und ${\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}$ entnimmt. Das Spektrum von ${\displaystyle \pi (S)}$ ist die Kreislinie.

Wold-Zerlegung

Ein stetiger linearer Operator ${\displaystyle T}$ auf einem Hilbertraum H ist unitär äquivalent zum Shiftoperator, wenn es einen unitären Operator ${\displaystyle U:H\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} })}$ gibt mit ${\displaystyle T=U^{*}SU}$. Ist ${\displaystyle T}$ irgendein Operator auf ${\displaystyle H}$, so heißt ein Unterraum ${\displaystyle V\subset H}$ invariant (bezüglich ${\displaystyle T}$), falls ${\displaystyle T(V)\subset V}$. Mit diesen Begriffen kann man nun alle Isometrien auf einem Hilbertraum beschreiben. Eine Isometrie ist im Wesentlichen eine direkte Summe aus einem unitären Operator und einigen Shiftoperatoren, genauer:

• Ist ${\displaystyle T}$ eine Isometrie auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, so zerfällt ${\displaystyle H}$ in eine direkte Summe ${\displaystyle \textstyle G\oplus \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$ invarianter Unterräume, so dass ${\displaystyle T|_{G}}$ unitär ist und jeder Operator ${\displaystyle T|_{H_{i}}}$ unitär äquivalent zum Shiftoperator ist.

Dabei kann ${\displaystyle G=\{0\}}$ sein, das heißt, der unitäre Anteil der Isometrie verschwindet, aber auch ${\displaystyle G=H}$ und somit ${\displaystyle I=\emptyset }$, dann ist die Isometrie unitär. Diese Darstellung einer Isometrie nennt man auch ihre Wold-Zerlegung oder Wold-von Neumann-Zerlegung (nach Herman Wold und John von Neumann).

Der Shiftoperator auf H²

Sei ${\displaystyle \Gamma =\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}$ die Kreislinie und ${\displaystyle \mu }$ das auf 1 normierte Lebesgue-Maß auf ${\displaystyle \Gamma }$, das heißt das Bildmaß des Lebesgue-Maßes auf dem Einheitsintervall [0,1] unter der Abbildung ${\displaystyle t\to e^{2\pi it}}$. ${\displaystyle H^{2}}$, der sogenannte Hardy-Raum, ist definiert als der von den Funktionen ${\displaystyle z\mapsto z^{n},n=0,1,2,\ldots }$ erzeugte Unterraum im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}(\Gamma ,\mu )}$.

Man kann zeigen, dass die Multiplikation mit der Funktion ${\displaystyle id_{\Gamma }:z\mapsto z}$ einen stetigen, linearen Operator auf ${\displaystyle H^{2}}$ definiert. Da die Funktionen ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ eine Orthogonalbasis des Hardy-Raums bilden, ist dieser Operator unitär äquivalent zum Shiftoperator, und man bezeichnet ihn auch einfach als Shiftoperator. In dieser speziellen Darstellung des Shiftoperators erscheint der Shiftoperator als ein Multiplikationsoperator.

Quellen

• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 0387906851