Beschränkter Operator

In d​er Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen a​ls beschränkte (lineare) Operatoren bezeichnet, w​enn ihre Operatornorm endlich ist. Lineare Operatoren s​ind genau d​ann beschränkt, w​enn sie stetig sind, weshalb beschränkte lineare Operatoren o​ft als stetige (lineare) Operatoren bezeichnet werden.

Definitionen

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ normierte Vektorräume. Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung ${\displaystyle T\colon X\to Y}$.

Ein beschränkter Operator ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ ist ein linearer Operator, für den es ein ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle \Vert Tx\Vert \leq M\Vert x\Vert }$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ gibt.

Die kleinste Konstante ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle \Vert Tx\Vert \leq M\Vert x\Vert }$ für alle ${\displaystyle x\in X}$ wird als Norm ${\displaystyle \Vert T\Vert }$ von ${\displaystyle T}$ bezeichnet. Für sie gilt

${\displaystyle \Vert T\Vert =\sup _{\Vert x\Vert =1}\Vert Tx\Vert }$

und für alle ${\displaystyle x\in X}$ die Ungleichung

${\displaystyle \Vert Tx\Vert \leq \Vert T\Vert \Vert x\Vert }$.

Stetigkeit

Ein linearer Operator i​st genau d​ann beschränkt, w​enn er stetig ist, a​lso eine d​er folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• falls ${\displaystyle x_{n}\to x}$, so gilt ${\displaystyle Tx_{n}\to Tx}$ in der von der jeweiligen Norm induzierten Metrik,
• für alle ${\displaystyle x_{0}\in X}$ und alle ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es ein ${\displaystyle \delta >0}$ mit

${\displaystyle \Vert x-x_{0}\Vert <\delta \Rightarrow \Vert Tx-Tx_{0}\Vert <\epsilon }$,

• Urbilder offener Mengen sind offen.

Beschränkte lineare Operatoren werden deshalb o​ft als stetige lineare Operatoren bezeichnet. Wenn d​ie Linearität vorausgesetzt wird, spricht m​an häufig a​uch nur v​on stetigen Operatoren o​der beschränkten Operatoren. Ist d​er Bildraum d​er Skalarenkörper, s​agt man Funktional s​tatt Operator.

Weiterhin s​ind die folgenden Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle T}$ ist stetig.
• ${\displaystyle T}$ ist stetig in 0.
• ${\displaystyle T}$ ist gleichmäßig stetig.
• ${\displaystyle T}$ ist beschränkt.

Beispiele

• Wenn ${\displaystyle X}$ endlich-dimensional ist, dann ist jeder lineare Operator ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ stetig.
• Wenn man zwei Normen auf demselben Vektorraum hat, dann sind die Normen genau dann äquivalent, wenn die Identitätsabbildungen in beiden Richtungen stetig sind.
• Das durch ${\displaystyle T(f):=f(0)}$ definierte Funktional ${\displaystyle T\colon C(\left[0,1\right],\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ ist stetig mit ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$, wobei ${\displaystyle C(\left[0,1\right],\mathbb {R} )}$ wie üblich mit der Supremumsnorm versehen ist.
• Das durch ${\displaystyle T(f):=f(0)+f^{\prime }(0)}$ definierte Funktional ${\displaystyle T\colon C^{1}(\left[0,1\right],\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ ist stetig mit ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$.
• Das durch ${\displaystyle \textstyle T(f):=\int _{0}^{1}f(x)dx}$ definierte Funktional ${\displaystyle T\colon C(\left[0,1\right],\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ ist stetig mit ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$.
• Aus der Hölder-Ungleichung folgt, dass für ${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} )}$ das durch ${\displaystyle \textstyle T(f):=\int _{\mathbb {R} }fg}$ definierte Funktional ${\displaystyle T\colon L^{p}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ stetig ist mit ${\displaystyle \Vert T\Vert =\Vert g\Vert _{L^{q}}}$.
• Der durch eine stetige Funktion ${\displaystyle k\colon \left[0,1\right]^{2}\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \textstyle Tf(x):=\int _{0}^{1}k(x,y)f(y)da}$ definierte Integraloperator ${\displaystyle T\colon C(\left[0,1\right])\to C(\left[0,1\right])}$ ist stetig und es gilt die Ungleichung ${\displaystyle \Vert T\Vert \leq \Vert k\Vert _{\infty }}$.
• Der Differentialoperator ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$ auf ${\displaystyle C^{1}\left[0,1\right]}$ ist für die Supremumsnorm kein stetiger Operator. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \Vert x^{n}\Vert _{\infty }=1}$, aber ${\displaystyle \Vert {\tfrac {d}{dx}}x^{n}\Vert _{\infty }=n}$. Der Operator ist aber stetig als Operator ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\colon C^{1}(\left[0,1\right])\to C(\left[0,1\right])}$.

Der Raum der stetigen Operatoren

Seien ${\displaystyle X,Y}$ normierte Vektorräume. Dann ist

${\displaystyle L(X,Y)=\left\{T\colon X\to Y\mid T{\mbox{ ist linear und stetig}}\right\}}$

mit der Operatornorm ${\displaystyle \Vert .\Vert }$ ein normierter Vektorraum.

Wenn ${\displaystyle Y}$ vollständig ist, dann ist auch ${\displaystyle L(X,Y)}$ vollständig.

Wenn ${\displaystyle D\subset X}$ ein dichter Unterraum und ${\displaystyle Y}$ vollständig ist, dann hat jeder stetige Operator ${\displaystyle T\in L(D,Y)}$ eine eindeutige stetige Fortsetzung ${\displaystyle {\widehat {T}}\in L(X,Y)}$ mit ${\displaystyle \Vert {\widehat {T}}\Vert =\Vert T\Vert }$.

Beschränkte lineare Operatoren zwischen topologischen Vektorräumen

Analog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ zwischen topologischen Vektorräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ beschränkt, falls das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.[1]

Falls ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zusätzlich lokalkonvexe Vektorräume sind, so ist der beschränkte Operator ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ stetig, genau dann, wenn ${\displaystyle X}$ ein bornologischer Raum ist.

Beschränkte Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen

→ Hauptartikel: Beschränkte Abbildung

Teilweise werden i​n der deutschen Literatur n​icht lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen a​uch als (nicht lineare) Operatoren bezeichnet.[2]

Sind also ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung ${\displaystyle T\colon V\to W}$ beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. Teubner, Wiesbaden 1975, 4. durchgesehene Auflage ebenda 2006, ISBN 3-8351-0026-2.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, ISBN 3642210163.

Einzelnachweise

1. Norbert Adasch, Bruno Ernst, Dieter Keim: Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-540-08662-8, S. 60.
2. Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.