Lindblad-Gleichung

In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators ${\displaystyle \rho }$, welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

Hintergrund

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das ${\displaystyle N}$-dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix ${\displaystyle \rho }$ kann geschrieben werden als:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{\frac {i}{\hbar }}[H,\rho ]+\sum _{n,m=1}^{N^{2}-1}h_{n,m}\left(L_{n}\,\rho \,L_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \,L_{m}^{\dagger }\,L_{n}+L_{m}^{\dagger }\,L_{n}\,\rho \right)\right)}$

Dabei bezeichnet

• der erste Summand den reversiblen Teil der Zeitentwicklung mit
  • der imaginären Einheit ${\displaystyle i}$
  • dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$
  • einem (hermiteschen) Hamilton-Operator ${\displaystyle H}$; ${\displaystyle H}$ ist jedoch nicht notwendigerweise gleich dem Hamilton-Operator des Systems, sondern beinhaltet zusätzlich die effektive unitäre Dynamik der Wechselwirkung zwischen System und Umgebung.
• die Summe ${\displaystyle \sum }$ den irreversiblen Teil mit
  • den Konstanten ${\displaystyle h_{n,m}}$, die die Dynamik festlegen. Sie bilden eine Koeffizientenmatrix ${\displaystyle h=(h_{n,m})}$, die positiv semidefinit sein muss, um sicherzustellen, dass die Gleichung spurerhaltend und komplett positiv ist.
  • den Operatoren ${\displaystyle L_{m}}$, die eine beliebige lineare Basis im Hilbertraum des Systems bilden.

Die Summation läuft nur über ${\displaystyle N^{2}-1}$, weil wir ${\displaystyle L_{N^{2}}}$ proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die ${\displaystyle L_{m}}$ für ${\displaystyle m<N^{2}}$ spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen ${\displaystyle m=n}$ gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

${\displaystyle L(C)\,\rho =C\,\rho \,C^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(C^{\dagger }\,C\,\rho +\rho \,C^{\dagger }\,C\right).}$

Falls die Terme ${\displaystyle h_{m,n}}$ alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen ${\displaystyle A}$ werden Lindblad-Gleichungen genannt:

${\displaystyle {\dot {A}}=-{\frac {1}{i\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2\hbar }}\sum _{k=1}^{\infty }{\big (}V_{k}^{\dagger }[A,V_{k}]+[V_{k}^{\dagger },A]V_{k}{\big )}}$

Diagonalisierung

Da die Matrix ${\displaystyle h=(h_{n,m})}$ positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation ${\displaystyle u}$ diagonalisiert werden:

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

wobei die Eigenwerte ${\displaystyle \gamma _{i}}$ nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis ${\displaystyle A}$ definieren:

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}u_{j,i}\,L_{j}}$

können w​ir die Lindblad-Gleichung i​n diagonaler Form umschreiben:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{\frac {i}{\hbar }}[H,\rho ]+\sum _{i=1}^{N^{2}-1}\gamma _{i}\left(A_{i}\,\rho \,A_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \,A_{i}^{\dagger }\,A_{i}+A_{i}^{\dagger }\,A_{i}\,\rho \right)\right).}$

Diese Gleichung i​st invariant u​nter unitärer Transformation d​er Lindblad-Operatoren u​nd -Konstanten,

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}A_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}A_{i}'=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}v_{j,i}{\sqrt {\delta _{i}}}A_{j},}$

und a​uch unter inhomogener Transformation

${\displaystyle A_{i}\to A_{i}'=A_{i}+a_{i},}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j=1}^{N^{2}-1}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}A_{j}-a_{j}A_{J}^{\dagger }\right).}$

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren ${\displaystyle A_{i}}$ (solange nicht alle ${\displaystyle \gamma _{i}}$ identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der ${\displaystyle \gamma _{i}}$, sind die ${\displaystyle A_{i}}$ der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer Oszillator

Ein häufiges Beispiel i​st die Beschreibung d​er Dämpfung e​ines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=a\\L_{2}&=a^{\dagger }\\h_{n,m}&={\begin{cases}{\tfrac {\gamma }{2}}\left({\bar {n}}+1\right)&n=m=1\\{\tfrac {\gamma }{2}}{\bar {n}}&n=m=2\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Hier ist

• ${\displaystyle {\bar {n}}}$ die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
• ${\displaystyle \gamma }$ die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, u​m diverse Formen v​on Dephasierung u​nd Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) z​u modellieren. Diese Methoden s​ind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden z​ur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

Literatur

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• Quantum dynamical semigroups and applications. Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18276-4.
• Roman S. Ingarden, A. Kossakowski, M. Ohya: Information dynamics and open systems. Classical and quantum approach. Springer Verlag, Berlin 1997, ISBN 0-7923-4473-1.
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• Open quantum systems. 2. The Markovian approach. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2006, ISBN 3-540-30992-6.
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Weblinks

• The Lindblad master equation (Memento vom 23. Februar 2015 im Internet Archive) (englisch)