Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, n​ach Joseph Liouville, i​st eine Differentialgleichung für d​ie zeitliche Entwicklung v​on Ensembles physikalischer Systeme. Die Gleichung gehört i​n den Bereich d​er klassischen statistischen Mechanik, e​s gibt a​ber auch e​in Analogon i​n der Quantenmechanik. Die Gleichung d​er Quantenmechanik i​st die Von-Neumann-Gleichung.

Die Liouville-Gleichung d​er klassischen statistischen Mechanik i​st eng verwandt m​it dem Satz v​on Liouville u​nd daraus herleitbar.

Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik

In der statistischen Physik beschreibt man ein Ensemble von Instanzen eines physikalischen Systems durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle \rho \left(q_{i},p_{i},t\right)}$ der Systempunkte der System-Instanzen im Phasenraum (Phasenraumdichte). Hierbei steht ${\displaystyle t}$ für die Zeit, und ${\displaystyle q_{i}}$ und ${\displaystyle p_{i}}$ sind die ${\displaystyle N}$ kanonischen Koordinaten und Impulse des Systems. Die Liouville-Gleichung

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)}$

liefert die Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte an einer gegebenen Stelle im Phasenraum als Funktion der Zeit. Da der Fluss der Systempunkte im Phasenraum entsprechend den hamiltonschen Bewegungsgleichungen durch das Vektorfeld ${\displaystyle \left({\dot {q}}_{i},{\dot {p}}_{i}\right)=\left(\partial H/\partial p_{i},-\partial H/\partial q_{i}\right)}$ gegeben ist, schreibt man die Liouville-Gleichung gewöhnlich in der Form

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=\left\{H,\rho \right\}.}$

Die geschweifte Klammer ${\displaystyle \{.,.\}}$ ist dabei eine Poisson-Klammer, ${\displaystyle H}$ ist die Hamilton-Funktion des Systems.

Bei Einführung d​es Liouvilleoperators

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=\{\cdot ,H\}}$

ergibt s​ich eine dritte Schreibweise

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{L}\rho }$.

Herleitung aus dem Satz von Liouville

Der Satz v​on Liouville besagt, d​ass das Volumen e​iner beliebigen Phasenraumzelle i​m Verlauf d​er Zeit konstant ist, d. h. d​er Fluss d​urch den Phasenraum i​st volumen- u​nd sogar orientierungserhaltend. Die Liouville-Gleichung g​ilt genau dann, w​enn die totale Ableitung d​er Wahrscheinlichkeitsdichte n​ach der Zeit verschwindet,

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0,}$

d. h. wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle \rho }$ entlang einer Phasenraumtrajektorie konstant ist. Es ist aber die Zahl der Systempunkte, welche im Phasenraum eine sich bewegende Zelle definieren, konstant. Die totale Ableitung ${\displaystyle d\rho /dt}$ verschwindet daher genau dann, wenn auch das Volumen der Zelle konstant ist.

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form d​er Liouville-Gleichung w​ird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]}$.

Hier bezeichnet

• ${\displaystyle i}$ die imaginäre Einheit
• ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• ${\displaystyle \rho }$ die Dichtematrix
• ${\displaystyle H}$ den Hamilton-Operator
• die eckigen Klammern den Kommutator.

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator ${\displaystyle L}$ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]}$

Damit schreibt s​ich die Von-Neumann-Gleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=L\rho }$

Mit Hilfe d​es Wigner-Bildes k​ann im semiklassischen Grenzfall e​ine direkte Beziehung zwischen d​em Hamilton-Operator u​nd der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

${\displaystyle \lim \limits _{\hbar \rightarrow 0}~{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]=\{{A}_{w},{B}_{w}\}}$

Literatur

• Franz Schwabl: Statistische Mechanik. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20360-5.
• Harald J.W. Müller-Kirsten: Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral. 2. Auflage. World Scientific, Singapur 2012, ISBN 978-981-4397-73-5, S. 29–40.
• Harald J.W. Müller-Kirsten: Basics of Statistical Physics. 2. Auflage. World Scientific, Singapur 2013, ISBN 978-981-4449-53-3, Kapitel 3.