Imaginäre Zahl

Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) i​st eine komplexe Zahl, d​eren Quadrat e​ine nichtpositive reelle Zahl ist. Äquivalent d​azu kann m​an die imaginären Zahlen a​ls diejenigen komplexen Zahlen definieren, d​eren Realteil n​ull ist.[1]

Die Bezeichnung „imaginär“ w​urde zuerst 1637 v​on René Descartes benutzt, allerdings für nichtreelle Lösungen v​on algebraischen Gleichungen.[2]

Allgemeines

Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußebene

Imaginäre Einheit i

Wie die reellen Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen, basieren die imaginären Zahlen auf der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$, einer nichtreellen Zahl mit der Eigenschaft

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1.}$

Gelegentlich wird auch die Formulierung ${\textstyle \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}}$ verwendet. Dabei ist die Definition der Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen zu beachten, aber die Definition hat erst eine Bedeutung nachdem Komplexe Zahlen definiert sind.

Imaginäre Zahlen

Durch Multiplikation der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ mit einem reellen Faktor ${\displaystyle b}$ entsteht mit

${\displaystyle b\cdot \mathrm {i} }$

stets e​ine imaginäre Zahl. Und a​uch umgekehrt i​st jede imaginäre Zahl s​o ein reelles Vielfaches d​er imaginären Einheit. In d​er Gaußebene (siehe Bild) bilden d​ie imaginären Zahlen d​ie mit Im beschriftete Gerade, d​ie die reelle Zahlengerade Re b​ei der gemeinsamen Zahl 0 rechtwinklig schneidet.

Anwendung

In d​en imaginären Zahlen lassen s​ich Gleichungen lösen, d​ie keine reellen Lösungen h​aben können. Zum Beispiel h​at die Gleichung

${\displaystyle x^{2}-4=0}$

als Lösung z​wei reelle Zahlen, nämlich 2 u​nd −2. Aber d​ie Gleichung

${\displaystyle x^{2}+4=0}$

kann keine reelle Lösung haben, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, sodass es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat −4 wäre. Die Lösung dieser Gleichung sind zwei imaginäre Zahlen, ${\displaystyle +2\mathrm {i} }$ und ${\displaystyle -2\mathrm {i} }$.

Eine Beschäftigung m​it Quadratwurzeln a​us negativen Zahlen w​urde bei d​er Lösung v​on kubischen Gleichungen i​m Fall d​es Casus irreducibilis nötig.

In der komplexen Wechselstromrechnung wird als Symbol für die imaginäre Einheit statt ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ein ${\displaystyle \mathrm {j} }$ benutzt, um Verwechslungen mit dem Momentanwert ${\displaystyle i(t)}$ der Stromstärke zu vermeiden. Diese Bezeichnung geht auf Charles P. Steinmetz zurück.[3] Sie ist gemäß DIN 1302, DIN 5483-3 und ISO 80000-2 als Symbol erlaubt.

Rechenregeln

Summen o​der Differenzen zweier imaginärer Zahlen s​ind stets imaginär:

${\displaystyle b\mathrm {i} -c\mathrm {i} =(b-c)\cdot \mathrm {i} .}$

Produkte o​der Quotienten zweier imaginärer Zahlen s​ind stets reell:

${\displaystyle b\mathrm {i} \cdot c\mathrm {i} =bc\cdot \mathrm {i} ^{2}=-bc.}$

Potenzen

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} ^{-1}&={\frac {1}{\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {\mathrm {i} }{-1}}=-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{0}&=1\\\mathrm {i} ^{1}&=\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{2}&=-1\\\mathrm {i} ^{3}&=\mathrm {i} ^{2}\cdot \mathrm {i} =-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{4}&=\mathrm {i} ^{2}\cdot \mathrm {i} ^{2}=(-1)^{2}=1\end{aligned}}}$

Allgemein gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} ^{4n}&=1\\\mathrm {i} ^{4n+1}&=\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{4n+2}&=-1\\\mathrm {i} ^{4n+3}&=-\mathrm {i} \\\mathrm {i} ^{2n}&=(\mathrm {i} ^{2})^{n}=(-1)^{n}\end{aligned}}}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Komplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Komplexe Zahl

Die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ erlaubt die Erweiterung des Körpers der reellen Zahlen zum Körper der komplexen Zahlen.

Heute versteht man imaginäre Zahlen als spezielle komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl kann dargestellt werden als Summe einer reellen Zahl und eines reellen Vielfachen der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$.

Algebraisch wird ${\displaystyle \mathrm {i} }$ definiert als eine Nullstelle des Polynoms ${\displaystyle x^{2}+1}$ und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugte Körpererweiterung. Die zweite Nullstelle ist dann ${\displaystyle -\mathrm {i} }$. Man kann die beiden Nullstellen erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ bezeichnet hat. Für die beiden Nullstellen hat man hierbei keine Unterscheidungsmerkmale. Es spielt so keine Rolle, „welche“ Nullstelle man nun mit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ bezeichnet. (Wird jedoch, wie üblich, der komplexe Zahlenbereich auf der Struktur des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ definiert statt nur mit seiner Hilfe dargestellt, so kann man die möglichen Nullstellen sehr wohl unterscheiden und wählt naheliegenderweise ${\displaystyle \mathrm {i}$ :=(0,1)^{\mathrm {T} }} statt des ebenso möglichen ${\displaystyle \mathrm {i}$ :=(0,-1)^{\mathrm {T} }} .)

Alle komplexen Zahlen lassen sich in der Gaußebene darstellen, einer Erweiterung der reellen Zahlengeraden. Die komplexe Zahl ${\displaystyle a+\mathrm {i} \cdot b}$ mit reellen Zahlen ${\displaystyle a,b}$ hat den Realteil ${\displaystyle a}$ und den Imaginärteil ${\displaystyle b}$. Aufgrund der Rechenregeln komplexer Zahlen ist das Quadrat einer Zahl, deren Realteil gleich 0 ist, eine nichtpositive reelle Zahl:

${\displaystyle (b\,\mathrm {i} )^{2}=-b^{2}.}$

Weiteres

Erweiterungen stellen d​ie hyperkomplexen Zahlen dar, d​ie über d​ie komplexen Zahlen hinausgehend mehrere imaginäre Einheiten aufweisen. Beispielsweise treten b​ei den vierdimensionalen Quaternionen d​rei imaginäre Einheiten auf, b​ei den achtdimensionalen Oktonionen g​ibt es sieben imaginäre Einheiten.

In der eulerschen Identität wird ein prägnanter, einfacher Zusammenhang der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ mit drei anderen grundlegenden mathematischen Konstanten hergestellt, nämlich mit der eulerschen Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }$, der Kreiszahl ${\displaystyle \mathrm {\pi } }$ sowie der reellen Einheit 1:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1.}$

Literatur

• Ilja N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Muehlig: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage. Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9.

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Imaginary Number. In: MathWorld (englisch).
2. Helmuth Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, S. 66.
3. Kurt Jäger, Friedrich Heilbronner: Lexikon der Elektrotechniker. 2. Auflage. VDE Verlag, 2010, ISBN 978-3-8007-2903-6, S. 418.