Verträglichkeit (Mathematik)

In d​er Mathematik i​st eine Abbildung zwischen z​wei Mengen, d​ie nicht verschieden s​ein müssen u​nd die Strukturen d​er gleichen Art besitzen, d​ann mit d​eren Strukturen verträglich, e​in Homomorphismus o​der ein (konkreter) Morphismus dieser Strukturart, w​enn sie d​ie Elemente a​us der e​inen Menge s​o in d​ie andere Menge abbildet, d​ass sich i​hre Bilder d​ort hinsichtlich d​er Relationen s​owie Abbildungen d​er Struktur ebenso verhalten, w​ie sich d​eren Urbilder i​n der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür s​ind die Distributivgesetze a​ls Charakterisierung v​on zweistelligen Verknüpfungen, d​ie linksverträglich bzw. rechtsverträglich m​it anderen Verknüpfungen sind.

Definition

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sowie beliebige nichtleere Indexmengen ${\displaystyle I,J,K}$ und ${\displaystyle J_{i}}$ für jedes ${\displaystyle i\in I,}$ die im Folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien ${\displaystyle R\subseteq A^{J}}$ und ${\displaystyle S\subseteq B^{J}}$ zwei Relationen[1] mit gleichen Eigenschaften sowie ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$ und ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ zwei Familien von Relationen ${\displaystyle F_{i}\subseteq A^{J_{i}}}$ und ${\displaystyle G_{i}\subseteq B^{J_{i}},}$ die für jeden Index ${\displaystyle i\in I}$ jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass ${\displaystyle (A,(F_{i})_{i\in I})}$ und ${\displaystyle (B,(G_{i})_{i\in I})}$ zwei Strukturen der gleichen Art sind.

Eine Relation ${\displaystyle \varrho \subseteq A\times B}$ heißt dann verträglich mit den Relationen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S,}$ wenn für alle ${\displaystyle (a_{j},b_{j})\in \varrho ,\;j\in J,}$ gilt:

${\displaystyle (a_{j})_{j\in J}\in R\implies (b_{j})_{j\in J}\in S.}$

Demnach ist insbesondere eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \,A\to B,\,a\mapsto \varphi (a),}$ verträglich mit den Relationen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S,}$ wenn gilt:

${\displaystyle \alpha \in R\implies \varphi \circ \alpha \in S.}$

${\displaystyle \varphi }$ ist verträglich mit den Strukturen ${\displaystyle (A,(F_{i})_{i\in I})}$ und ${\displaystyle (B,(G_{i})_{i\in I}),}$[2] wenn für jeden Index ${\displaystyle i\in I}$ die Abbildung ${\displaystyle \varphi }$ verträglich ist mit ${\displaystyle F_{i}}$ und ${\displaystyle G_{i}.}$ Man nennt dann ${\displaystyle \varphi }$ auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus dieser Strukturart.

Nun sei ${\displaystyle \chi \colon \,A^{K}\to A}$ eine innere Verknüpfung auf ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle K}$ darf auch unendlich sein) und ${\displaystyle R\subseteq A^{J},}$ sodass auf ${\displaystyle A^{K}}$ komponentenweise die Relation ${\displaystyle S:={\bigl \{}\alpha {\bigr |}\,{\hat {\alpha }}(k)\in R\,{\text{ für alle }}\,k\in K\,{\bigl \}}\subseteq {\bigl (}A^{K}{\bigr )}{\bigr .}^{J}}$ auf ${\displaystyle A}$ gegeben ist. ${\displaystyle \chi }$ heißt dann verträglich mit ${\displaystyle R,}$ wenn ${\displaystyle \chi }$ verträglich ist mit ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle R.}$

Hierbei (und auch im Folgenden, für beliebige ${\displaystyle A,K,J,\alpha }$) sei für ${\displaystyle \alpha \in {\bigl (}A^{K}{\bigr )}^{J}}$ das ${\displaystyle {\hat {\alpha }}\in {\bigl (}A^{J}{\bigr )}^{K}}$ definiert per ${\displaystyle {\hat {\alpha }}(k)(j):=\alpha (j)(k)}$.

Eigenschaften

• Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften ${\displaystyle R_{A}\subseteq A^{I}\!\times A}$ und ${\displaystyle R_{B}\subseteq B^{I}\!\times B}$ Abbildungen (d. h. linkstotal und rechtseindeutig) ${\displaystyle f_{A}\colon \,A^{I}\to A,}$ und ${\displaystyle f_{B}\colon \,B^{I}\to B,}$ so ist eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \,A\to B}$ genau dann verträglich mit den Abbildungen ${\displaystyle f_{A}}$ und ${\displaystyle f_{B},}$ wenn

${\displaystyle \varphi \left(f_{A}(\alpha )\right)=f_{B}\left(\varphi \circ \alpha \right)}$   für alle ${\displaystyle \alpha \in A^{I}.}$

• Zwei nullstellige Abbildungen ${\displaystyle f_{A}\colon \,A^{0}\to A,\,()\mapsto f_{A}(),}$ und ${\displaystyle f_{B}\colon \,B^{0}\to B,\,()\mapsto f_{B}(),}$ können stets als die einelementigen einstelligen Relationen ${\displaystyle R_{A}=\{f_{A}()\}\subseteq A}$ und ${\displaystyle R_{B}=\{f_{B}()\}\subseteq B}$ aufgefasst werden. Eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \,A\to B}$ ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen ${\displaystyle f_{A}}$ und ${\displaystyle f_{B},}$ wenn ${\displaystyle \varphi }$ die Konstanten ${\displaystyle f_{A}()}$ und ${\displaystyle f_{B}()}$ aufeinander abbildet:

${\displaystyle \varphi (f_{A}())=f_{B}().}$

• ${\displaystyle \chi \colon \,A^{K}\to A}$ ist genau dann verträglich mit einer Abbildung ${\displaystyle f_{A}\colon \,A^{I}\to A,}$ wenn gilt:

${\displaystyle \chi \left(f_{A}\circ {\hat {\alpha }}\right)=f_{A}\left(\chi \circ \alpha \right)}$   für alle ${\displaystyle \alpha \in {\bigl (}A^{K}{\bigr )}^{I}.}$

Distributivität

Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge ${\displaystyle C}$ gegeben. Man nennt dann eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \star \colon \,C\times A\to B,\,(c,a)\mapsto c\star a,}$ linksverträglich mit ${\displaystyle R_{A}}$ und ${\displaystyle R_{B},}$ wenn für jedes ${\displaystyle c\in C}$ die Linkstransformation

${\displaystyle \tau _{c\star }\colon \,A\to B,\,a\mapsto \tau _{c\star }(a):=c\star a,}$

nach obiger Definition mit ${\displaystyle R_{A}}$ und ${\displaystyle R_{B}}$ verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle *\colon \,A\times C\to B,\,(a,c)\mapsto a*c,}$ rechtsverträglich mit ${\displaystyle R_{A}}$ und ${\displaystyle R_{B},}$ wenn für jedes ${\displaystyle c\in C}$ die Rechtstransformation

${\displaystyle \tau _{*c}\colon \,A\to B,\,a\mapsto \tau _{*c}(a):=a*c,}$

mit ${\displaystyle R_{A}}$ und ${\displaystyle R_{B}}$ verträglich ist.

Falls ${\displaystyle \star }$ linksverträglich ist sowie ${\displaystyle *}$ rechtsverträglich ist mit Abbildungen ${\displaystyle f_{A}\colon \,A^{I}\to A}$ und ${\displaystyle f_{B}\colon \,B^{I}\to B,}$ dann sagt man auch, dass ${\displaystyle \star }$ linksdistributiv ist bzw. ${\displaystyle *}$ rechtsdistributiv ist über ${\displaystyle f_{A}}$ und ${\displaystyle f_{B}\colon }$

${\displaystyle c\star f_{A}(a_{i})_{i\in I}=f_{B}(c\star a_{i})_{i\in I}}$   bzw.   ${\displaystyle f_{A}(a_{i})_{i\in I}*c=f_{B}(a_{i}*c)_{i\in I}}$   für alle ${\displaystyle c\in C}$ und für alle ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}\in A^{I}.}$

Eine innere zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \cdot \colon \,A\times A\to A}$ auf ${\displaystyle A}$ heißt distributiv über ${\displaystyle f_{A},}$ wenn ${\displaystyle \cdot }$ links- und rechtsdistributiv über ${\displaystyle f_{A}}$ ist.

Beispiele

• Die mit geordneten Strukturen ${\displaystyle (A,\leq )}$ und ${\displaystyle (B,\sqsubseteq )}$ verträglichen Abbildungen ${\displaystyle \varphi \colon \,A\to B}$ heißen isoton oder auch monoton (steigend):

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \varphi (a_{1})\sqsubseteq \varphi (a_{2})}$   für alle ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A.}$

• Eine Kongruenzrelation ist eine auf einer algebraischen Struktur ${\displaystyle \left(A,(f_{i})\right)}$ derart erklärte Äquivalenzrelation ${\displaystyle {\sim }\subseteq A^{2},}$ dass alle inneren Verknüpfungen ${\displaystyle f_{i}}$ verträglich sind mit ${\displaystyle {\sim }.}$

• Die mit algebraischen Strukturen verträglichen Abbildungen sind (algebraische) Homomorphismen.

• Vollständige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollständigen Verbänden sind Beispiele für unendlichstellige Homomorphismen.

• Die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ eines topologischen Raums ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ist eindeutig durch das Hüllensystem ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ durch das Kernsystem ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge ${\displaystyle O\in {\mathcal {O}}}$ ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt ${\displaystyle a\in X}$ genau dann in ${\displaystyle A}$ liegt, wenn gegen ihn ein Netz ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ konvergiert mit ${\displaystyle a_{i}\in A}$ für alle ${\displaystyle i\in I.}$ Die Topologie ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ und das Konvergenzverhalten aller Netze in ${\displaystyle X}$ sind also äquivalent.

Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ und ${\displaystyle (Y,{\mathcal {P}})}$ ist daher eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon \,X\to Y}$ genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ mit allen gegen ${\displaystyle x}$ konvergenten Netzen verträglich ist:

${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\longrightarrow _{X}x\implies \left(\varphi (x_{i})\right)_{i\in I}\longrightarrow _{Y}\varphi (x)}$   für alle Netze ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ für alle ${\displaystyle i\in I.}$

• Mit Kategorien verträgliche Abbildungen nennt man Funktoren.

• Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967.
• Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin – Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0.
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.

Anmerkungen

1. Die Menge ${\displaystyle A^{J}}$ aller Familien in ${\displaystyle A}$ mit Indexmenge ${\displaystyle J}$ wird, falls ${\displaystyle J}$ endlich ist und genau ${\displaystyle n}$ Elemente enthält, ebenso mit ${\displaystyle A^{n}=\{(a_{0},\ldots ,a_{n-1})\mid a_{0},\ldots ,a_{n-1}\in A\}}$ oder für ${\displaystyle {\underline {n}}:=\{1,\ldots ,n\}}$ mit ${\displaystyle A^{\underline {n}}}$ identifiziert, wobei man zwischen ${\displaystyle A^{n}}$ und ${\displaystyle A^{\underline {n}}}$ in der Regel nicht unterscheidet.
2. Eine Struktur ${\displaystyle ((A_{k})_{k\in K},(R_{i})_{i\in I})}$ mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen ${\displaystyle A_{k}}$ und mit Relationen ${\displaystyle R_{i}}$ in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge ${\displaystyle A:=\bigcup (A_{k})_{k\in K}}$ auffassen, da stets jede Relation ${\displaystyle R_{i}}$ auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von ${\displaystyle A}$ ist.