Kongruente Zahl

In der Zahlentheorie sind kongruente Zahlen ganze Zahlen, welche sich als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen darstellen lassen. Historisch namensgebend sind "sich treffende" (lat. congruere) arithmetische Folgen von Quadratzahlen, womit auf von Leonardo Fibonacci eingeführte congruum, pl. congrua verwiesen wird, welche mit einem geeigneten rationalen Quadrat multipliziert die kongruente Zahlen bilden. Édouard Lucas bewies 1877 für kongruente Zahlen n den Zusammenhang mit rationalen Lösungen der Gleichung: ${\displaystyle y^{2}=x^{4}-n^{2}}$. Kurt Heegner war der erste, der das Problem kongruenter Zahlen mit elliptischen Kurven verband, und 1952 bewies er, dass eine Primzahl eine kongruente Zahl ist, wenn ${\displaystyle p\equiv 5\mod 8}$ oder ${\displaystyle p\equiv 7\mod 8}$.

Dreieck mit dem Flächeninhalt 6, einer kongruenten Zahl.

Die Folge d​er kongruenten Zahlen (Folge A003273 i​n OEIS) beginnt mit

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, …

Tabelle der kongruenten Zahlen: n ≤ 120[1]
—: Nicht-Kongruente Zahl K: Quadratfreie Kongruente Zahl Q: Kongruente Zahl mit quadratischem Faktor
n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	Q	K	K	K	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	K	—	—	K	K	K	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	K	—	—	—	Q	K	K	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	Q	K	Q	K	Q
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	Q	K	K	Q	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	K	—	—	—	K	K	K	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	Q	K	K	K	Q
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	K	K	K	Q
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	Q	Q	K	K	Q

Beispiel: Die ganze Zahl 6 ist eine kongruente Zahl, denn das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten ${\displaystyle a=3}$ und ${\displaystyle b=4}$ besitzt den Flächeninhalt ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab=6}$ und nach dem Satz des Pythagoras die Hypotenuse ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {9+16}}=5}$. Also ist die ganze Zahl 6 als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Seitenlängen eine kongruente Zahl.

Für jede positive ganze Zahl ${\displaystyle s}$ ist eine ganze Zahl ${\displaystyle q}$ genau dann eine Kongruenzzahl, wenn ${\displaystyle s^{2}q}$ eine Kongruenzzahl ist. Deshalb kann man sich bei der Lösung des Kongruenzzahl-Problems auf quadratfreie Zahlen beschränken.

Allgemeiner werden a​uch alle rationalen Zahlen, d​ie als Fläche e​ines rechtwinkligen Dreiecks m​it rationalen Seitenlängen auftreten, a​ls kongruente Zahlen bezeichnet.[2]

Kongruente Zahlen im Bereich 1 bis 20

Die folgenden ganzen Zahlen im Bereich 1 bis 20 sind kongruent,[3] da sie sich als Flächeninhalt ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab}$ eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Katheten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ und rationaler Hypotenuse ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ darstellen lassen:

Rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b.

Flächeninhalt ${\displaystyle A}$	Kathete ${\displaystyle a}$	Kathete ${\displaystyle b}$	Hypotenuse ${\displaystyle c}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {20}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {41}{6}}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle {\tfrac {35}{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {24}{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {337}{60}}}$
${\displaystyle 13}$	${\displaystyle {\tfrac {780}{323}}}$	${\displaystyle {\tfrac {323}{30}}}$	${\displaystyle {\tfrac {106921}{9690}}}$
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {63}{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {65}{6}}}$
${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\tfrac {15}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {17}{2}}}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\tfrac {40}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {41}{3}}}$

Satz von Fermat

Der französische Mathematiker Pierre d​e Fermat bewies, d​ass die Fläche e​ines rechtwinkligen Dreiecks m​it ganzzahligen Seitenlängen k​eine Quadratzahl s​ein kann. Dies i​st äquivalent dazu, d​ass weder 1 n​och jede andere Quadratzahl e​ine kongruente Zahl ist. Sein Resultat teilte e​r 1659 i​n einem Brief a​n Pierre d​e Carcavi mit,[4] d​en Beweis notierte e​r in e​iner Anmerkung, d​ie 1670 postum veröffentlicht wurde.[5][6] Fermat g​eht von d​er seit d​er Antike bekannten Darstellung e​ines primitiven pythagoreischen Tripels a​ls (x²−y², 2xy,x²+y²) a​us und verwendet d​ie von i​hm eingeführte Methode d​es unendlichen Abstiegs, e​ine Variante d​er vollständigen Induktion. Sein Beweis z​eigt auch, d​ass die Gleichung a⁴+b⁴=c⁴ k​eine Lösung m​it positiven ganzen Zahlen a, b, c h​at (ein Spezialfall d​er Fermatschen Vermutung).[7]

Satz von Tunnell

Der Satz v​on Tunnell, benannt n​ach Jerrold B. Tunnell, g​ibt notwendige Bedingungen dafür, d​ass eine Zahl kongruent ist.

Für eine quadratfreie ganze Zahl ${\displaystyle n}$ definiere

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}}$

Wenn ${\displaystyle n}$ eine ungerade Kongruenzzahl ist, dann muss ${\displaystyle 2A_{n}=B_{n}}$ sein, wenn ${\displaystyle n}$ eine gerade Kongruenzzahl ist, dann muss ${\displaystyle 2C_{n}=D_{n}}$ sein.

Falls die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für elliptische Kurven der Form ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$ gilt, dann sind diese Bedingungen auch hinreichend. Dann wäre die natürliche Zahl n genau dann kongruent, wenn die abelsche Gruppe der rationalen Punkte der elliptischen Kurve ${\displaystyle E_{n}:y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$ einen Rang mindestens 1 hat.

Pan Yan bewies 2014 dies bedingt (schwache Form der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer) für alle positiven quadratfreien ganzen Zahlen ${\displaystyle n=5,6,7\mod 8}$.[8] In Weiterführung dieser Ideen zeigte Alexander Smith 2016, dass mindestens 55,9 Prozent der positiven quadratfreien ganzen Zahlen ${\displaystyle n=5,6,7\mod 8}$ kongruente Zahlen sind.[9]

Literatur

• Leonard Eugene Dickson: Congruent numbers in History of the theory of numbers. Volume II: Diophantine equations, Carnegie Institution, Washington 1920, S. 459–472 (englisch)
• J. B. Tunnell: A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2, Inventiones mathematicae 72 (2), 1983, S. 323–334 (englisch)

Einzelnachweise

1. Folge A003273 in OEIS
2. Neal Koblitz: Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer-Verlag, 1984, 2. Auflage 1993, ISBN 3-540-97966-2, S. 3 (englisch)
3. Kongruente Zahlen: Tausend Jahre altes Geometrierätsel, Spiegel Online, 31. Januar 2013
4. Paul Tannery, Charles Henry (Hrsg.): Œuvres de Fermat. Tome deuxième, Gauthier-Villars, Paris 1894, S. 431–436 (französisch)
5. Samuel de Fermat (Hrsg.): Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus, Bernard Bosc, Toulouse 1670, S. 338f.; auch in Paul Tannery, Charles Henry (Hrsg.): Œuvres de Fermat. Tome premier, Gauthier-Villars, Paris 1891, S. 340f. (lateinisch)
6. Catherine Goldstein: Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Presse Universitaire de Vincennes, St. Denis 1995, ISBN 2-910381-10-2 (französisch; Inhaltsverzeichnis, PDF-Datei, 29,4 kB; Rezension, Zentralblatt-Rezension)
7. H. G. Zeuthen: Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert, B. G. Teubner, Leipzig 1903, S. 163f.
8. Pan Yan, Congruent Numbers and Elliptic Curves, math.okstate.edu
9. Smith, The congruent numbers have positive natural density, Arxiv 2016

Weblinks

• Holger Dambeck: Mathematik: Lösung für Rätsel aus 1001 Nacht rückt näher. Spiegel Online, 31. Januar 2013, abgerufen am 1. Februar 2013.