CAT(0)-Raum

CAT(0)-Räume s​ind ein Begriff a​us der Geometrie, m​it dem Eigenschaften v​on Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung a​uf allgemeine metrische Räume verallgemeinert werden. Ihre definierende Eigenschaft ist, d​ass Dreiecke dünner s​ein sollen a​ls Vergleichsdreiecke i​n der euklidischen Ebene.

Definition

Vergleichsdreiecke

${\displaystyle d(x,y)\leq \parallel x^{\prime }-y^{\prime }\parallel }$

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein geodätischer metrischer Raum. Ein geodätisches Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ in ${\displaystyle X}$ ist ein Dreieck mit Ecken ${\displaystyle a,b,c\in X}$, dessen drei Seiten Geodäten sind. Zu jedem geodätischen Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ gibt es ein (bis auf Kongruenz eindeutiges) Vergleichsdreieck ${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit

${\displaystyle d(a,b)=\lVert a^{\prime }-b^{\prime }\rVert ,\ d(a,c)=\lVert a^{\prime }-c^{\prime }\rVert ,\ d(b,c)=\lVert b^{\prime }-c^{\prime }\rVert }$.

Man h​at dann e​ine Vergleichsabbildung

${\displaystyle f:\partial \Delta (a,b,c)\rightarrow \partial \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$,

die (zum Beispiel) jedem Punkt ${\displaystyle x}$ auf der Seite ${\displaystyle (a,b)}$ den entsprechenden Punkt ${\displaystyle x^{\prime }}$ auf der Seite ${\displaystyle (a^{\prime },b^{\prime })}$ (d. h. den eindeutigen Punkt mit ${\displaystyle \lVert x^{\prime }-a^{\prime }\rVert =d(x,a)}$) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

CAT(0)-Räume

Ein geodätischer metrischer Raum ${\displaystyle (X,d)}$ ist ein CAT(0)-Raum, wenn zu jedem geodätischen Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ in ${\displaystyle X}$ mit Vergleichsabbildung ${\displaystyle f:\partial \Delta (a,b,c)\rightarrow \partial \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$ die Ungleichung

${\displaystyle d(x,y)\leq \lVert f(x)-f(y)\rVert }$ für alle ${\displaystyle x,y\in \partial \Delta (a,b,c)}$ gilt.

Anschaulich: Jedes geodätische Dreieck i​st mindestens s​o dünn w​ie sein Vergleichsdreieck.

Beispiele

• Einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung sind CAT(0)-Räume. Dazu zählen der euklidische ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, der hyperbolische Raum, ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)}$, allgemeiner alle symmetrischen Räume ohne kompakten Faktor.
• Einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung werden auch als Hadamard-Mannigfaltigkeiten bezeichnet. Vollständige CAT(0)-Räume bezeichnet man als Hadamard-Räume.
• Endliche Produkte von CAT(0)-Räumen sind CAT(0)-Räume.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Bäume und euklidische oder hyperbolische Gebäude sind CAT(0)-Räume.
• Hilberträume sind CAT(0)-Räume.
• Eine zusammenziehbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle \geq 6}$ trägt genau dann eine geodätisch vollständige CAT(0)-Metrik, wenn sie kollabierbar ist.[1]
• Satz von Gromov: Ein kubischer Komplex ist genau dann ein CAT(0)-Raum, wenn er einfach zusammenhängend und der Link jeder Ecke ein Fahnenkomplex ist.

Eigenschaften

• In einem CAT(0)-Raum ${\displaystyle x}$ lassen sich je zwei Punkte durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Die Geodäte hängt stetig von ihren Endpunkten ab.
• In CAT(0)-Räumen gilt die Ptolemäische Ungleichung

${\displaystyle d(x,y)d(u,v)\leq d(x,u)d(y,v)+d(x,v)d(y,u)}$ für alle ${\displaystyle x,y,u,v\in X}$.

• Für Geodäten ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:\left[a,b\right]\rightarrow X}$ ist die Funktion ${\displaystyle d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$ konvex.
• CAT(0)-Räume sind zusammenziehbar.

Geodätischer Rand

Geodätische Strahlen in einem CAT(0)-Raum heißen asymptotisch, wenn sie endlichen Abstand haben. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geodätischen Strahlen. Der Geodätische Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ des CAT(0)-Raumes ${\displaystyle (X,d)}$ ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf Bogenlänge parametrisierten geodätischen Strahlen.

Jeder Punkt in ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ lässt sich mit jedem Punkt in ${\displaystyle X}$ durch eine eindeutige Geodäte verbinden. Unterschiedliche Punkte in ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ müssen sich aber nicht immer durch eine Geodäte verbinden lassen.

Kegel-Topologie

Die Topologie auf ${\displaystyle (X,d)}$ lässt sich zu einer Topologie auf ${\displaystyle X\cup \partial _{\infty }X}$ erweitern[2], so dass gilt: Eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert gegen ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ genau dann, wenn (für beliebiges ${\displaystyle x_{0}\in X}$) die Folge der ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle x_{n}}$ verbindenden Geodäten lokal gleichmäßig gegen die ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle p}$ verbindende Geodäte konvergiert.

Diese Topologie w​ird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Beispiel: Wenn ${\displaystyle (X,d)}$ eine einfach zusammenhängende, vollständige n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist, dann ist ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ mit der Kegel-Topologie homöomorph zur (n-1)-dimensionalen Sphäre.

Tits-Metrik

Die Tits-Metrik (nach Jacques Tits) ${\displaystyle d_{T}:\partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\rightarrow \mathbb {R} }$ ist für ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in \partial _{\infty }X}$ definiert durch

${\displaystyle d_{T}(p_{1},p_{2}):=\sup _{x\in X}\lim _{t\rightarrow \infty }\angle _{x}(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$,

wobei ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ zu ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ asymptotische Geodäten sind.

Hierbei ist (allgemein für ${\displaystyle x,a,b\in X}$) der Winkel ${\displaystyle \angle _{x}(a,b)}$ definiert als der Winkel bei ${\displaystyle x^{\prime }}$ des Vergleichsdreiecks ${\displaystyle \Delta (x^{\prime },a^{\prime },b^{\prime })}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Die Tits-Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel-Topologie auf ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$.

Beispiele: Falls ${\displaystyle (X,d)}$ eine einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, dann ist ${\displaystyle d_{T}(p_{1},p_{2})=\pi }$ für alle ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in \partial _{\infty }X}$, die Tits-Metrik induziert also die diskrete Topologie. Falls ${\displaystyle (X,d)=(\mathbb {R} ^{n},d_{eukl})}$ der euklidische Raum ist, dann ist ${\displaystyle (\partial _{\infty }X,d_{T})}$ homöomorph zur Sphäre.

Horosphären

Zu einem Punkt ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ und einer Geodäte ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,\infty \right]\rightarrow X} mit ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\gamma (t)=p}$ definiert man die Busemann-Funktion ${\displaystyle b_{\gamma }:X\rightarrow \mathbb {R} }$ durch

${\displaystyle b_{\gamma }(x):=\lim _{t\rightarrow \infty }d(x,\gamma (t))-t}$.

Falls ${\displaystyle X}$ vollständig ist und ${\displaystyle \gamma _{1}}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}}$ zwei zu ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ asymptotische Geodäten sind, dann ist ${\displaystyle b_{\gamma _{1}}-b_{\gamma _{2}}}$ konstant. Insbesondere hängt die Zerlegung von ${\displaystyle X}$ in die Niveaumengen von ${\displaystyle b_{\gamma }}$ nur von ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ und nicht von der Wahl der zu ${\displaystyle p}$ asymptotischen Geodäte ${\displaystyle \gamma }$ ab. Die Niveaumengen von ${\displaystyle b_{\gamma }(x)}$ werden als Horosphären von ${\displaystyle p}$ bezeichnet.

Isometrien

Jede Isometrie ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ eines vollständigen CAT(0)-Raumes ${\displaystyle (X,d)}$ fällt in eine der folgenden 3 Klassen:

• elliptisch: ${\displaystyle f}$ hat einen Fixpunkt in ${\displaystyle X}$,
• hyperbolisch: ${\displaystyle f}$ hat keinen Fixpunkt in ${\displaystyle X}$, lässt aber eine Geodäte invariant,
• parabolisch: ${\displaystyle f}$ lässt einen Punkt ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ und seine Horosphären invariant.[3]

CAT(0)-Gruppen

Eine CAT(0)-Gruppe i​st eine Gruppe, d​ie eigentlich diskontinuierlich u​nd kokompakt d​urch Isometrien a​uf einem endlich-dimensionalen CAT(0)-Raum wirkt.

Lokale CAT(0)-Räume

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt l​okal CAT(0), w​enn jeder Punkt e​ine Umgebung besitzt, d​ie (mit d​er eingeschränkten Metrik) e​in CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard besagt: wenn ${\displaystyle X}$ ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ eine eindeutige Metrik ${\displaystyle {\tilde {d}}}$ so dass

• die Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}\to X}$ eine lokale Isometrie ist, und
• ${\displaystyle ({\widetilde {X}},{\tilde {d}})}$ ein CAT(0)-Raum ist.

Quellen

1. Adiprasito-Funar: Hyperbolicity of contractible manifolds
2. Bridson-Haefliger: Metric spaces of nonpositive curvature. (PDF-Datei; 3,83 MB), Definition II.8.5
3. Fujiwara: "CAT(0) spaces for Riemannian geometers" (PDF-Datei; 116 kB)