Geodätischer metrischer Raum

Der geodätische metrische Raum i​st ein Begriff a​us der Mathematik. Er beschreibt Räume, i​n denen m​an zu j​e zwei Punkten e​ine kürzeste Verbindungskurve finden kann. Der Begriff verallgemeinert d​as Konzept d​er vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten a​uf allgemeine metrische Räume. In d​er Literatur finden s​ich auch d​ie Bezeichnungen Längenraum o​der innerer metrischer Raum.

Geodäten in metrischen Räumen

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum. Ein Weg ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle \gamma$ :\left[a,b\right]\rightarrow X} , wobei ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ ein abgeschlossenes Intervall im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ist. Die Länge der Bildkurve ist definiert als

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right\}}$.

Aus der Dreiecksungleichung folgt die Ungleichung ${\displaystyle L(\gamma )\geq d(\gamma (a),\gamma (b))}$. Der Weg ${\displaystyle \gamma$ :\left[a,b\right]\rightarrow X} heißt minimierende Geodäte, wenn Gleichheit

${\displaystyle L(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))}$

gilt.

Definition

Ein metrischer Raum ${\displaystyle (X,d)}$ heißt geodätisch, wenn es zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y\in X}$ eine minimierende Geodäte ${\displaystyle \gamma$ :\left[a,b\right]\rightarrow X} mit

${\displaystyle \gamma (a)=x,\gamma (b)=y}$

gibt.

Beispiele nicht-geodätischer metrischer Räume

Sei

${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} -\left\{0\right\}}$

die punktierte komplexe Ebene m​it der Metrik

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

für ${\displaystyle x,y\in X}$. Dieser Raum ist wegzusammenhängend, es lassen sich also je zwei Punkte durch mindestens eine Kurve verbinden.

Dann ist zum Beispiel ${\displaystyle d(1,-1)=2}$ oder ${\displaystyle d(i,-i)=2}$, in beiden Fällen lassen sich die Punktepaare aber nicht durch Kurven der Länge 2 verbinden.

Allgemeiner folgt aus dem Satz von Hopf-Rinow, dass eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit dann und nur dann ein geodätischer metrischer Raum ist, wenn sich alle Geodäten auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fortsetzen lassen.

Satz von Hopf-Rinow

→ Hauptartikel: Satz von Hopf-Rinow

Für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ definiert man eine Metrik ${\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$ durch

${\displaystyle d(x,y):=\inf\{L(\gamma )\mid \gamma \colon [0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}}$

für ${\displaystyle x,y\in M}$. Dabei durchläuft ${\displaystyle \gamma }$ alle stückweise differenzierbaren Wege, die ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ verbinden, und ${\displaystyle L(\gamma )}$ bezeichnet die Riemannsche Länge von ${\displaystyle \gamma }$, die gemäß

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{1}\!{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,\mathrm {d} t}$

definiert ist. Damit wird die Riemannsche Mannigfaltigkeit zu einem metrischen Raum ${\displaystyle (M,d)}$.

Aus d​em Satz v​on Hopf-Rinow folgt:

• ${\displaystyle (M,d)}$ ist ein geodätischer metrischer Raum

genau dann, w​enn eine d​er folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• die Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ ist geodätisch vollständig,
• es existiert ein ${\displaystyle p\in M,}$ so dass die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp _{p}}$ für alle ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ definiert ist,
• der metrische Raum ${\displaystyle (M,d)}$ ist vollständig als metrischer Raum.

Literatur

• Bridson-Haefliger: Metric spaces of nonpositive curvature (PDF; 4 MB)