Niveaumenge

In d​er Mathematik bezeichnet e​ine Niveaumenge o​der Levelmenge d​ie Menge a​ller Punkte d​es Definitionsbereichs e​iner Funktion, d​enen ein gleicher Funktionswert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen m​it Werten i​n einer geordneten Menge s​ind die d​er Subniveaumenge, d​ie alle Punkte enthält, d​eren Funktionswerte e​inen vorgegebenen Wert n​icht überschreiten, u​nd der Superniveaumenge, d​ie alle Punkte enthält, d​eren Funktionswerte e​inen vorgegebenen Wert n​icht unterschreiten.

Niveaumengen (schwarze Linien) um einen Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen

Definition

Es seien ${\displaystyle U,V}$ Mengen, ${\displaystyle f\colon U\to V}$ eine Funktion und ${\displaystyle c\in V}$ ein Wert aus der Zielmenge, dann heißt

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{f}(c):=f^{-1}(c)=\{x\in U\mid f(x)=c\}\subseteq U}$

die Niveaumenge der Funktion ${\displaystyle f}$ zum Niveau bzw. Level ${\displaystyle c}$.

Trägt ${\displaystyle V}$ eine Ordnungsrelation ${\displaystyle \leq }$ (mit Umkehrrelation ${\displaystyle \geq }$), können wir folgende Begriffe definieren.

Als Subniveaumenge w​ird die Menge

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\leq }(c):=\{x\in U\mid f(x)\leq c\}}$

bezeichnet, im Falle ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\leq }(c)=f^{-1}(\left(-\infty ,c\right])}$.

Als Superniveaumenge w​ird die Menge

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\geq }(c):=\{x\in U\mid f(x)\geq c\}}$

bezeichnet, im Falle ${\displaystyle V=\mathbb {R} }$ ist ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\geq }(c)=f^{-1}(\left[c,\infty \right))}$.

Anwendungen

Physik

Für zweidimensionale Skalarfelder ist eine Niveaumenge zumeist eine Linie und man spricht von einer Isolinie oder Niveaulinie. Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare Potentialfelder) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte Fläche und man nennt sie Isofläche oder Niveaufläche (z. B. Höhenlinien).
Der Begriff Niveaufläche wird aber auch für Kraftfelder wie das elektrische Feld oder Magnetfelder verwendet.

Wirtschaftswissenschaften

Für eine Produktionsfunktion ${\displaystyle f\colon (0,\infty )^{n}\to (0,\infty )}$ sowie ein Produktionsniveau ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{f}(c)=f^{-1}(c)}$ die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge ${\displaystyle c}$ generieren lässt. Die Menge ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{f}(c)}$ wird als Isoquante zum Produktionsniveau ${\displaystyle c}$ bezeichnet.[1]

Verallgemeinerung

Ist die Funktion reell-vektorwertig, hat also als Bildraum den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ist dieser mit einer verallgemeinerten Ungleichung ${\displaystyle \preccurlyeq _{K}}$ versehen, so lässt sich die Subniveaumenge verallgemeinern zu

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\leq }(c):=\{x\in U\mid f(x)\preccurlyeq _{K}c\}}$

und d​ie Superniveaumenge zu

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}^{\geq }(c):=\{x\in U\mid f(x)\succcurlyeq _{K}c\}}$.

Einzelnachweise

1. Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).