Satz von Cartan-Hadamard

In d​er Mathematik i​st der Satz v​on Cartan-Hadamard e​in Satz d​er riemannschen Geometrie, d​er die Topologie v​on Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung beschreibt. Benannt i​st die Aussage n​ach den Mathematikern Élie Cartan u​nd Jacques Hadamard. Hadamard h​atte ihn 1898 für Flächen bewiesen, Cartan d​ann 1928 allgemein für Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Aussage

Sei ${\displaystyle M}$ eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist für jedes ${\displaystyle x\in M}$ die Exponentialabbildung

${\displaystyle \exp _{x}:T_{x}M\rightarrow M}$

eine Überlagerung.

Korollar: Sei ${\displaystyle M}$ eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung, dann ist ${\displaystyle M}$ asphärisch, d. h. die höheren Homotopiegruppen verschwinden:

${\displaystyle \pi _{j}(M)=0\ \ \forall j\geq 2}$.

Verallgemeinerung (Metrische Räume)

Sei ${\displaystyle X}$ ein Hadamard-Raum. Dann gibt es für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ eine eindeutige Geodäte

${\displaystyle \sigma _{xy}:\left[0,1\right]\rightarrow X}$

mit ${\displaystyle \sigma _{xy}(0)=x,\sigma _{xy}(1)=y}$, und ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ hängt stetig von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ab.

Lokale CAT(0)-Räume

Ein vollständiger, zusammenhängender, metrischer Raum heißt l​okal CAT(0), w​enn jeder Punkt e​ine Umgebung besitzt, d​ie (mit d​er eingeschränkten Metrik) e​in CAT(0)-Raum ist.

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Cartan-Hadamard[1] besagt: wenn ${\displaystyle X}$ ein lokaler CAT(0)-Raum ist, dann gibt es auf der universellen Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ eine eindeutige Metrik ${\displaystyle {\tilde {d}}}$ so dass

• die Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}\to X}$ eine lokale Isometrie ist, und
• ${\displaystyle ({\widetilde {X}},{\tilde {d}})}$ ein CAT(0)-Raum ist.

Literatur

• Werner Ballmann: Lectures on spaces of nonpositive curvature. (PDF; 818 kB) With an appendix by Misha Brin. DMV Seminar, 25. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5242-6
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian geometry. Mathematics: theory and applications, Boston: Birkhäuser, 1992. ISBN 0-8176-3490-8

Einzelnachweise

1. Ballmann, op. cit., Theorem I.4.5