G-Raum

Als G-Raum bezeichnet m​an in d​er Geometrie e​inen mit e​iner stetigen Gruppenwirkung versehenen topologischen Raum. Stetige Gruppenwirkungen u​nd die i​n diesem Zusammenhang definierten allgemeinen Begriffe kommen i​n vielen mathematischen Problemstellungen a​uf natürliche Weise vor.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle G}$ eine (topologische oder diskrete) Gruppe und

${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$

${\displaystyle (g,x)\mapsto gx}$

eine stetige Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle M}$, das heißt eine stetige Abbildung mit

${\displaystyle g(hx)=(gh)x}$

für alle ${\displaystyle g,h\in G,x\in M}$ sowie

${\displaystyle ex=x}$

für das neutrale Element ${\displaystyle e\in G}$ und alle ${\displaystyle x\in M}$, dann wird ${\displaystyle M}$ G-Raum genannt.[1]

Weitere Begriffe

Im Folgenden sei ${\displaystyle M}$ ein G-Raum, ${\displaystyle G\times M}$ trage die Produkttopologie und der Bahnenraum ${\displaystyle G\backslash M}$ die Quotiententopologie.

Transitive Wirkung

Eine Wirkung ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ heißt transitiv, wenn es zu jedem Paar ${\displaystyle (x,y)\in M\times M}$ ein ${\displaystyle g\in G}$ mit ${\displaystyle gx=y}$ gibt.

Wenn ${\displaystyle G}$ transitiv auf ${\displaystyle M}$ wirkt, dann ist ${\displaystyle M}$ homöomorph zu ${\displaystyle G/G_{x}}$ mit der Quotiententopologie, wobei ${\displaystyle G_{x}=\left\{g\in G:gx=x\right\}}$ der Stabilisator eines (beliebigen) Elementes ${\displaystyle x\in M}$ ist.

Freie Wirkung

Eine Wirkung ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ heißt frei, wenn aus ${\displaystyle gx=x}$ (mit ${\displaystyle g\in G}$ und ${\displaystyle x\in M}$) stets ${\displaystyle g=e}$ folgt.

Eine Wirkung ist frei genau dann, wenn für alle ${\displaystyle x\in M}$ der Stabilisator ${\displaystyle G_{x}\subset G}$ nur aus dem neutralen Element besteht.

Effektive Wirkung

Eine Wirkung heißt effektiv (oder treu), wenn es zu jedem ${\displaystyle g\not =e}$ ein ${\displaystyle x\in M}$ mit ${\displaystyle gx\not =x}$ gibt.

Eine Wirkung ist also genau dann effektiv, wenn der entsprechende Homomorphismus von ${\displaystyle G}$ in die Gruppe der Homöomorphismen von ${\displaystyle X}$ ein Monomorphismus ist.

Fixpunkte

Die Fixpunkte eines Elementes ${\displaystyle g\in G}$ sind die Elemente ${\displaystyle x\in M}$ mit ${\displaystyle gx=x}$.

Ein Punkt ${\displaystyle x\in M}$ heißt globaler Fixpunkt der Gruppenwirkung, wenn ${\displaystyle gx=x}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$ gilt.

Eigentliche Wirkung

Eine Wirkung ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ heißt eigentlich, wenn die durch

${\displaystyle (g,x)\rightarrow (x,gx)}$

gegebene Abbildung ${\displaystyle \rho :G\times M\rightarrow M\times M}$ eine eigentliche Abbildung ist.

Wenn die Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle M}$ eigentlich ist, dann ist ${\displaystyle G\backslash M}$ Hausdorffsch und alle Orbiten ${\displaystyle Gx}$ sind abgeschlossen. Der Stabilisator jedes Punktes ist kompakt und die Abbildung ${\displaystyle G/G_{x}\rightarrow Gx}$ ist ein Homöomorphismus.[2]

Eigentlich diskontinuierliche Wirkung, Diskontinuitätsbereich

Eine Wirkung ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ heißt eigentlich diskontinuierlich, wenn es zu jedem ${\displaystyle x\in M}$ eine Umgebung ${\displaystyle U}$ gibt, für die

${\displaystyle \sharp \left\{g\in G:gU\cap U\not =\emptyset \right\}<\infty }$.

Eine freie Wirkung ist eigentlich diskontinuierlich genau dann, wenn die Projektion ${\displaystyle M\rightarrow G\backslash M}$ eine Überlagerung ist.

Eine ${\displaystyle G}$-invariante, offene Teilmenge ${\displaystyle \Omega \subset M}$ heißt Diskontinuitätsbereich, wenn die Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle \Omega }$ eigentlich diskontinuierlich ist. Im Allgemeinen muss ein maximaler Diskontinuitätsbereich nicht eindeutig bestimmt sein.

Im Fall e​iner Kleinschen Gruppe u​nd ihrer Wirkung a​uf der Sphäre i​m Unendlichen g​ibt es e​inen eindeutigen maximalen Diskontinuitätsbereich, dieser i​st das Komplement d​er Limesmenge u​nd wird häufig a​uch als d​er Diskontinuitätsbereich d​er Kleinschen Gruppe bezeichnet. (Dies g​ilt allgemeiner a​uch für diskrete Gruppen v​on Isometrien v​on Hadamard-Mannigfaltigkeiten u​nd ihre Wirkung a​uf der Sphäre i​m Unendlichen.)

Kokompakte Wirkung

Eine Wirkung ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ heißt kokompakt, wenn der Orbitraum ${\displaystyle G\backslash M}$ kompakt ist.

Eine Wirkung i​st kokompakt, w​enn es e​inen kompakten Fundamentalbereich gibt.

Geometrische Wirkung

Eine Wirkung heißt geometrisch (engl.: geometric action), w​enn sie eigentlich diskontinuierlich u​nd kokompakt ist.

Quellen

1. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7, S. 17.
2. Properly discontinuous actions