Hadamard-Mannigfaltigkeit

In d​er Differentialgeometrie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, s​ind Hadamard-Mannigfaltigkeiten einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung.

Definition

Eine Hadamard-Mannigfaltigkeit i​st eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung.

Eigenschaften

Hadamard-Mannigfaltigkeiten s​ind CAT(0)-Räume – d​as folgt a​us dem Satz v​on Toponogow.

Hadamard-Mannigfaltigkeiten s​ind zusammenziehbar – d​as folgt a​us dem Satz v​on Cartan-Hadamard.

Beispiele

• der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• der hyperbolische Raum
• ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)}$
• allgemeiner alle symmetrischen Räume ohne kompakten Faktor
• Produkte von Hadamard-Mannigfaltigkeiten

Literatur

• Patrick Barry Eberlein, Barrett O’Neill: Visibility manifolds. In: Pacific Journal of Mathematics. Bd. 46, Nr. 1, 1973, ISSN 0030-8730, 45–109, doi:10.2140/pjm.1973.46.45.
• Werner Ballmann, Mikhael Gromov, Viktor Schroeder: Manifolds of nonpositive curvature (= Progress in Mathematics. 61). Birkhäuser, Boston u. a. 1985, ISBN 3-7643-3181-X.