Torische Varietät

Eine torische Varietät i​st eine spezielle algebraische Varietät u​nd damit e​in Objekt a​us der algebraischen Geometrie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Das Studium torischer Varietäten w​ird auch a​ls torische Geometrie bezeichnet.

Definitionen

Algebraischer Torus

Ein algebraischer Torus ${\displaystyle T}$ über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist eine algebraische Gruppe, die isomorph zu einer algebraischen Gruppe der Form ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }\times \dotsb \times \mathbb {C} ^{\ast }}$ ist.[1]

Torische Varietäten als torische Einbettungen

Eine torische Varietät ist eine irreduzible algebraische Varietät ${\displaystyle X}$, die einen algebraischen Torus ${\displaystyle T}$ als eine Zariski-offene Teilmenge enthält, sodass die Gruppenverknüpfung des Torus sich zu einer algebraischen Gruppenoperation ${\displaystyle T\times X\to X}$ des Torus auf der ganzen Varietät fortsetzen lässt. Hierbei meint algebraisch, dass die Gruppenoperation durch einen Morphismus algebraischer Varietäten gegeben ist.[2]

Bei manchen Autoren w​ird zusätzlich verlangt, d​ass eine torische Varietät normal ist.[3] Dabei heißt e​ine algebraische Varietät normal, f​alls in j​edem Punkt d​er Varietät d​er lokale Ring e​in normaler Ring ist.

Zusammenhang mit der Konvexgeometrie

Polyedrische Gitterkegel

Sei ${\displaystyle N}$ ein Gitter, das heißt eine freie abelsche Gruppe von endlichem Rang. Ein spitzer konvexer rationaler polyedrischer ${\displaystyle N}$-Kegel ist ein spitzer konvexer Kegel im Vektorraum ${\displaystyle N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$, der von endlich vielen Vektoren aus ${\displaystyle N}$ erzeugt wird. Im Folgenden sprechen wir kurz von einem ${\displaystyle N}$-Kegel.

Jedem ${\displaystyle N}$-Kegel ${\displaystyle \sigma }$ kann ein dualer Kegel ${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$ zugeordnet werden. Dazu betrachtet man zum dualen Gitter ${\displaystyle M=Hom(N,\mathbb {Z} )}$ den dualen Vektorraum ${\displaystyle M_{\mathbb {R} }=M\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ und definiert ${\displaystyle \sigma ^{\vee }=\{u\in M|\langle u,v\rangle \geq 0\forall v\in \sigma \}}$.

Fächer

Ein Fächer zu einem Gitter ${\displaystyle N}$ ist eine endliche Menge von ${\displaystyle N}$-Kegeln, in der zu jedem Kegel auch alle seine Seiten enthalten sind und in der zu je zwei Kegeln deren Schnitt eine Seite beider Kegel ist.[4] Damit ist der Begriff eines Fächers analog zum Begriff eines geometrischen Simplizialkomplex in der algebraischen Topologie.

Torische Varietäten aus Gitterkegeln und Fächern

Einem ${\displaystyle N}$-Kegel ${\displaystyle \sigma }$ wird zunächst sein dualer Kegel ${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$ zugeordnet. Zu diesem betrachtet man die kommutative Halbgruppe ${\displaystyle S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap M}$. Es stellt sich heraus (Lemma von Gordan[5]), dass diese Halbgruppe endlich erzeugt ist und die Monoidalgebra ${\displaystyle \mathbb {C} [S_{\sigma }]}$ daher eine endlich erzeugte kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Algebra ist. Das Maximalspektrum dieser Algebra hat dann die Struktur einer normalen torischen affinen Varietät und man erhält alle normalen affinen torischen Varietäten auf diese Weise.[6]

Affine torische Varietäten, d​ie von d​en Kegeln e​ines Fächers kommen, können miteinander z​u einer abstrakten torischen Varietät verklebt werden.[7] Auf d​iese Weise erhält m​an alle normalen torischen Varietäten.[8]

Siehe auch

• Tropische Geometrie: Teilgebiet der algebraischen Geometrie, das ebenfalls stark mit der diskreten Mathematik verbunden ist.

Einzelnachweise

1. Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. 1978, 1.1 Algebraic tori.
2. Cox: Toric varieties. 2011, Theorem 3.1.1.
3. Fulton: Introduction to Toric Varieties. 1993, Definition in 1.1.
4. Cox: Toric varieties. 2011, Definition 3.1.2.
5. Cox: Toric varieties. 2011, Proposition 1.2.17.
6. Cox: Toric varieties. 2011, Theorem 1.2.18., Theorem 1.3.5.
7. Cox: Toric varieties. 2011, Theorem 3.1.5.
8. Cox: Toric varieties. 2011, Corollary 3.1.8.

Literatur

Monographien und Lehrbücher

• David A. Cox, John B. Little, Henry K. Schenck: Toric varieties. American Mathematical Society, Providence 2011, ISBN 978-0-8218-4819-7.
• Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94755-8.
• William Fulton: Introduction to toric varieties. Princeton University Press, Princeton, NJ. 1993, ISBN 0-691-03332-3.
• Tadao Oda: Convex bodies and algebraic geometry : an introduction to the theory of toric varieties. Springer, Berlin, 1988, ISBN 3-540-17600-4.
• Tadao Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. Springer, Berlin 1978, ISBN 3-540-08852-0.
• George R. Kempf, Finn Faye Knudsen, David B. Mumford, B. Saint-Donat: Toroidal Embeddings I. Springer, Berlin 1973, ISBN 978-3-540-06432-9.

Originalpublikationen

• Jean-Luc Brylinski: Eventails et variétés toriques. In: Séminaire sur les singularités des surfaces Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-09746-5.
• V.I. Danilov: The geometry of toric varieties. Russian Math. Surveys 33:2, 1978, S. 97–154 (PDF; 2,9 MB).

Vorlesungen und Vorlesungsskripte

• Jürgen Hausen: A video course on toric varieties. Tübingen 2020, (Toric Varieties auf YouTube, PDF).
• David A. Cox: Lectures on Toric Varieties. Hanoi 2005, (PDF).
• David A. Cox: What is a Toric Variety? Workshop on Algebraic Geometry and Geometric Modeling, Vilnius 2003, (PDF Skript, PDF Folien).
• Ludger Kaup: Vorlesungen über Torische Varietäten. Konstanzer Schriften in Mathematik und Informatik, Nr. 130, Fassung vom Frühjahr 2002, ISSN 1430-3558, (PDF).
• Jean-Paul Brasselet: Introduction to toric varieties. Impa, Marseille 2001, (PDF).
• David A. Cox: Minicourse on Toric Varieties. Buenos Aires 2001, (PDF).