Konvexer Kegel

In d​er Mathematik i​st ein konvexer Kegel e​in Kegel, d​er unter Linearkombinationen m​it positiven Koeffizienten (auch konische Kombinationen genannt) abgeschlossen ist. Konvexe Kegel spielen e​ine wichtige Rolle i​n der konischen Optimierung.

Ein konvexer Kegel (hellblau). Die violette Menge stellt die Linearkombinationen ${\displaystyle \alpha x+\beta y}$ mit positiven Koeffizienten ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ für die Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ dar. Die gekrümmten Linien am rechten Rand sollen andeuten, dass die Gebiete ins Unendliche auszudehnen sind.

Definition

Gegeben sei eine Menge ${\displaystyle C}$ eines ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraumes, wobei ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ein angeordneter Körper ist. Meist ist ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$.

Die Menge ${\displaystyle C}$ ist ein konvexer Kegel, wenn eine der folgenden Definitionen zutrifft:

• ${\displaystyle C}$ ist konvex und ein Kegel.
• ${\displaystyle C}$ ist ein Kegel, und für beliebige ${\displaystyle x,y\in C}$ ist ${\displaystyle x+y}$ wieder in ${\displaystyle C}$ enthalten.
• Für beliebige ${\displaystyle x,y\in C}$ und ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ aus ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ist stets ${\displaystyle \alpha x+\beta y}$ wieder in ${\displaystyle C}$.
• Die Menge ${\displaystyle C}$ ist abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen.

Eigenschaften

• Schnitte von Familien von Konvexen Kegeln sind wieder Konvexe Kegel. Somit bilden die konvexen Kegel ein Hüllensystem.
• Die konische Hülle (manchmal auch positive Hülle genannt) ${\displaystyle \operatorname {pos} (X)}$ weist jeder Menge den kleinsten konvexen Kegel zu, der diese Menge enthält. Somit ist die konische Hülle der Hüllenoperator zu dem Hüllensystem der konvexen Kegel.
• Jeder konvexe Kegel definiert eine Ordnungsrelation auf dem Vektorraum, in dem er sich befindet. Der konvexe Kegel wird dann als Ordnungskegel aufgefasst.

Kegel über Teilmengen der Sphäre

Für eine Teilmenge ${\displaystyle \Omega \subset S^{n-1}}$ der Einheitssphäre ${\displaystyle S^{n-1}=\{\,x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\left\|x\right\|=1\,\}}$ heißt

${\displaystyle C(\Omega )=\{\,rv\,|\,v\in \Omega ,r\in \mathbb {R} _{>0}\,\}}$

der Kegel über ${\displaystyle \Omega }$.

Jeder Kegel ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ist von der Form ${\displaystyle K=C(\Omega )}$ für ${\displaystyle \Omega =K\cap S^{n-1}}$.

Die Konvexität von Kegeln lässt sich durch folgende äquivalente geometrische Definition beschreiben: Ein Kegel ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ist genau dann ein konvexer Kegel, wenn der Durchschnitt mit jedem Großkreis der Einheitssphäre zusammenhängend ist.

Weitere Begriffe

Ein Kegel ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt ein polyedrischer Kegel, wenn es eine Matrix ${\displaystyle A}$ gibt, so dass

${\displaystyle C=\{\,x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,Ax\leq 0\,\}}$

ist. Ein Kegel i​st genau d​ann ein polyedrischer Kegel, w​enn er v​on einer endlichen Menge a​n Vektoren erzeugt wird.

Ein Kegel heißt regulär, wenn

${\displaystyle a\in K\wedge -a\in K\Longrightarrow a=0}$.

Die Automorphismengruppe eines Kegels ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ist

${\displaystyle \operatorname {Aut} (K)=\{\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )\,|\,AK=K\,\}}$.

Ein Kegel heißt homogen, wenn die Automorphismengruppe transitiv auf ${\displaystyle K}$ wirkt.

Er heißt symmetrisch, wenn es zu jedem ${\displaystyle x\in K}$ eine Involution ${\displaystyle A\in \operatorname {Aut} (K)}$ mit ${\displaystyle x}$ als einzigem Fixpunkt gibt. Symmetrische konvexe Kegel sind stets homogen.

Ein Kegel ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt reduzibel wenn er von der Form

${\displaystyle K=K_{1}+K_{2},K_{1}\subset R^{p}\times \{0\}^{n-p},K_{2}\subset \{0\}^{p}\times \mathbb {R} ^{n-p}}$

mit ${\displaystyle 0<p<n}$ ist, irreduzibel sonst.

Der zu ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ duale Kegel ist definiert als ${\displaystyle K^{*}=\{\,a\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\forall b\in K.\langle b,a\rangle \geq 0\,\}}$. Auch diese Definition lässt sich analog für Vektorräume mit Skalarprodukt über einem angeordneten Körper formulieren.

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn ${\displaystyle K=K^{*}}$ ist.

Charakterisierung symmetrischer konvexer Kegel: Ein konvexer Kegel i​st genau d​ann symmetrisch, w​enn er offen, regulär, homogen u​nd selbstdual ist.

Satz von Koecher-Vinberg

Der positive Kegel einer Jordan-Algebra ist die Menge der Elemente mit positivem Spektrum. Eine Jordan-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt formal reell, wenn sich ${\displaystyle 0\in A}$ nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. In einer formal reellen Jordan-Algebra gehört ein Element genau dann zum positiven Kegel, wenn es ein Quadrat ist.

Der Satz v​on Koecher-Vinberg besagt, d​ass die Konstruktion d​es positiven Kegels e​ine Bijektion zwischen formal reellen Jordan-Algebren u​nd symmetrischen konvexen Kegeln herstellt.

Symmetrische konvexe Kegel werden deshalb a​uch als Positivitäts-Gebiet (engl.: domain o​f positivity) bezeichnet.

Klassifikation symmetrischer konvexer Kegel

Max Koecher benutzte 1965 d​ie Klassifikation formal reeller Jordan-Algebren z​ur Klassifikation d​er symmetrischen konvexen Kegel.

Die irreduziblen symmetrischen konvexen Kegel in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sind durch die folgende Liste gegeben:

• der Lorentz-Kegel ${\displaystyle \Lambda _{n}=\{\,x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}>0,x_{1}>0\,\}}$
• der Kegel ${\displaystyle \Pi _{m}(\mathbb {R} )}$ der positiven symmetrischen ${\displaystyle m\times m}$-Matrizen für ${\displaystyle n=(m^{2}+m)/2}$
• der Kegel ${\displaystyle \Pi _{m}(\mathbb {C} )}$ der positiven hermiteschen komplexen ${\displaystyle m\times m}$-Matrizen für ${\displaystyle n=m^{2}}$
• der Kegel ${\displaystyle \Pi _{m}(\mathbb {H} )}$ der positiven hermiteschen quaternionischen ${\displaystyle m\times m}$-Matrizen für ${\displaystyle n=2m^{2}-m}$
• und für ${\displaystyle n=27}$ der Kegel ${\displaystyle \Pi _{3}(O)}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} (\Pi _{3}(O)))={\mathfrak {e}}_{6(-26)}\oplus \mathbb {R} }$.

Literatur

• Benoist, Yves: A survey on divisible convex sets. Geometry, analysis and topology of discrete groups, 1–18, Adv. Lect. Math. (ALM), 6, Int. Press, Somerville, MA 2008. pdf
• Koecher, Max: The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Edited, annotated and with a preface by Aloys Krieg and Sebastian Walcher. Lecture Notes in Mathematics, 1710. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-66360-6.