Dualer Kegel

Der duale Kegel i​st ein spezieller Kegel, d​er jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise b​ei den Dualitätsaussagen d​er Lagrange-Dualität i​n der mathematischen Optimierung e​ine Rolle. Er i​st eng m​it dem polaren Kegel verwandt.

Definition

In Hilberträumen

Gegeben sei ein Hilbertraum ${\displaystyle V}$ (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \langle .;.\rangle }$ ) und ein Kegel ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \geq 0\}}$

der duale Kegel von ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{D}}$ bezeichnet.

Allgemeiner Fall

Ist ${\displaystyle V^{*}}$ der Dualraum von ${\displaystyle V}$ und ist ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ein Kegel in ${\displaystyle V}$, dann ist der duale Kegel definiert durch

${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \geq 0\}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \langle .;.\rangle }$ die duale Paarung, das heißt, es gilt ${\displaystyle \langle y^{*};x\rangle$ :=y^{*}(x)} .

Bemerkung

Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum ${\displaystyle V}$ auffassen zu können.

Verwandte Begriffsbildungen

Polarer Kegel

Analog lässt s​ich der Begriff d​es polaren Kegels formulieren:

${\displaystyle \operatorname {pol} ({\mathcal {K}}):=\{y^{*}\in V^{*}|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y^{*};x\rangle \leq 0\}}$

In e​inem Hilbertraum g​ilt dann:

${\displaystyle \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{y\in V|\forall x\in {\mathcal {K}}\colon \langle y;x\rangle \leq 0\}}$

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90° haben und deshalb gilt ${\displaystyle {\mathcal {K}}\cap \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=\{0_{V}\}}$

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung ${\displaystyle \operatorname {pol} ({\mathcal {K}})=-\operatorname {dual} ({\mathcal {K}})}$ im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

Selbstdualer Kegel

Ein Kegel heißt selbstdual, wenn ${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}})={\mathcal {K}}}$ gilt.

Bemerkung

Gelegentlich w​ird der d​uale Kegel w​ie der polare Kegel definiert u​nd umgekehrt, h​ier ist d​ie Literatur n​icht eindeutig. Es g​ilt also d​ie Richtung d​er Ungleichung z​u beachten.

Beispiele

Betrachtet man in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel ${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,x_{1}\geq 0\,,x_{2}=0\}=\lambda (1,0)^{T}}$ mit ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, so ist der duale Kegel die rechte Halbebene ${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} }$. Ist nämlich ${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$, so ist ${\displaystyle x^{T}y=\lambda y_{1}}$ und dies soll ${\displaystyle \geq 0}$ sein für alle ${\displaystyle \lambda \geq 0}$, daher muss ${\displaystyle y_{1}\geq 0}$ sein.

Entsprechend d​er obigen Identität i​st dann d​er polare Kegel d​ie linke Halbebene.

Versieht man den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit dem Skalarprodukt ${\displaystyle \langle x;y\rangle _{A}:=x^{T}Ay}$, wobei ${\displaystyle A}$ die symmetrische positiv definite Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}}}$

ist, s​o ist d​er duale Kegel

${\displaystyle \operatorname {dual} ({\mathcal {K}})=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,4y_{1}+y_{2}\geq 0\}}$.

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden ${\displaystyle y_{2}=-4y_{1}}$ begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist ${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{x\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,x_{1}\geq 0\,,x_{2}\geq 0\}}$.

Eigenschaften

• Der duale und der polare Kegel sind konvex, unabhängig davon, ob diese Eigenschaft bereits dem ursprünglichen Kegel zukam oder nicht.
• Ist ${\displaystyle V}$ ein topologischer Vektorraum – mit dem topologischen Dualraum ${\displaystyle V^{*}}$ – so sind der polare und duale Kegel stets abgeschlossen.

Literatur

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)
• Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.
• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.