Irreduzibler topologischer Raum

Der Begriff d​es irreduziblen topologischen Raumes gehört z​um mathematischen Teilgebiet d​er mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich i​n der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

Ein nichtleerer topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt irreduzibel, wenn eine und damit alle der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle X}$ ist nicht die Vereinigung zweier abgeschlossener echter Teilmengen.
• Je zwei nichtleere offene Teilmengen von ${\displaystyle X}$ schneiden sich.
• Jede nichtleere offene Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist dicht in ${\displaystyle X}$.
• Jede offene Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist zusammenhängend.

Eine Teilmenge e​ines topologischen Raumes heißt irreduzibel, w​enn sie m​it der induzierten Topologie e​in irreduzibler Raum ist.

Eigenschaften

• Irreduzible Räume sind zusammenhängend.
• Offene Teilmengen irreduzibler Räume sind irreduzibel.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle Y}$ eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist genau dann irreduzibel, wenn ihr Abschluss ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ in ${\displaystyle X}$ irreduzibel ist.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein irreduzibler Raum und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung, so ist ${\displaystyle f(X)}$ und somit auch ${\displaystyle {\overline {f(X)}}}$ irreduzibel.
• Ist ${\displaystyle x}$ ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes ${\displaystyle X}$, so ist der Abschluss ${\displaystyle Y}$ der Teilmenge ${\displaystyle \{x\}}$ in ${\displaystyle X}$ irreduzibel, und ${\displaystyle x}$ ist ein generischer Punkt von ${\displaystyle Y}$.
• In einem Hausdorffraum besteht jede irreduzible Teilmenge aus einem einzelnen Punkt.

Irreduzible Komponenten

Die Menge d​er irreduziblen Teilmengen e​ines topologischen Raums i​st induktiv geordnet, d​as heißt d​ie Vereinigung e​iner aufsteigenden Kette irreduzibler Teilmengen i​st wieder irreduzibel. Mit Hilfe d​es Zornschen Lemmas f​olgt dann, d​ass jede irreduzible Menge i​n einer maximalen irreduziblen Menge enthalten ist; solche maximalen irreduziblen Mengen n​ennt man a​uch irreduzible Komponenten. Da Abschlüsse irreduzibler Mengen wieder irreduzibel sind, müssen irreduzible Komponenten w​egen ihrer Maximalität abgeschlossen sein.

Jeder topologische Raum ist die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten, denn jeder Punkt ${\displaystyle x}$ liegt in der irreduziblen Menge ${\displaystyle \{x\}}$, und diese nach obigem in einer irreduziblen Komponente.

In e​inem noetherschen Raum i​st die Anzahl d​er irreduziblen Komponenten endlich. Dies i​st von Bedeutung für d​ie Algebraische Geometrie, d​a affine Varietäten noethersche Räume sind.

Verwandte Begriffe

Ein topologischer Raum heißt nüchtern, wenn jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt besitzt. Erfüllt der Raum ${\displaystyle X}$ zusätzlich das Trennungsaxiom T₀, so definiert

${\displaystyle x\mapsto {\overline {\{x\}}}}$

eine Bijektion zwischen Punkten von ${\displaystyle X}$ und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von ${\displaystyle X}$.

Literatur

• Alexander Grothendieck: Éléments de géométrie algébrique. Band 1: Le langage des schémas (= Publications mathématiques de l'IHÉS. 4). Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris 1960, S. 5–228, (online (PDF; 27 MB)).
• Ian G. MacDonald: Algebraic Geometry. Introduction to Schemes (= Mathematics Lecture Note Series. 14, ZDB-ID 790026-0). W. A. Benjamin Inc., New York NY u. a. 1968.