Normale Varietät

In d​er algebraischen Geometrie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, s​ind normale Varietäten algebraische Varietäten m​it nur milden Singularitäten.

Der Begriff w​urde von Oscar Zariski i​m Zusammenhang m​it seiner r​ein algebraischen, a​uf kommutativer Algebra beruhenden Grundlegung d​er algebraischen Geometrie u​nd seinen Arbeiten z​ur Auflösung v​on Singularitäten eingeführt.

Definition

Eine algebraische Varietät ${\displaystyle X}$, oder allgemeiner ein Schema, ist eine normale Varietät bzw. ein normales Schema, wenn der lokale Ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}(X)}$ jedes Punktes ${\displaystyle x\in X}$ ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

(Die Bezeichnung normal erklärt s​ich daraus, d​ass man Ringe, d​ie in i​hrem Quotientenkörper ganzabgeschlossen sind, ebenfalls normal nennt.)

Kriterien

Die Kurve ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0}$ ist nicht normal, denn ${\displaystyle t\to (t^{2},t^{3})}$ ist ein endlicher birationaler Morphismus von A¹ auf die Kurve, der kein Isomorphismus ist.

Die folgenden Kriteria sind äquivalent dazu, dass eine algebraische Varietät ${\displaystyle X}$ normal ist.

• Der Ring der regulären Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ist in seinem Quotientenkörper ganzabgeschlossen.
• Jede endliche birationale Abbildung ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ von einer algebraischen Varietät ${\displaystyle Y}$ auf ${\displaystyle X}$ ist ein Isomorphismus.

Eigenschaften

• Jedes reguläre Schema, d. h. jedes Schema ohne Singularitäten ist normal. Umgekehrt hat eine normale Varietät nur Singularitäten der Kodimension mindestens 2. Insbesondere sind die Singularitäten einer algebraischen Kurve nicht normal.
• Für eine normale Varietät über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist (in der klassischen Topologie als Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) der Link jedes Punktes zusammenhängend, d. h. jeder Punkt hat beliebig kleine Umgebungen ${\displaystyle U}$ so dass ${\displaystyle U\setminus \left\{x\right\}}$ zusammenhängend ist.

Literatur

• Oscar Zariski: Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties., Amer. J. Math., 61 (2), 249–294, 1939.