Rang einer abelschen Gruppe

Der Rang e​iner abelschen Gruppe i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Algebra. Er i​st ein Maß für d​ie Größe e​iner abelschen Gruppe.

Definition

Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ stimmen die folgenden Zahlen überein:

• die Kardinalität einer maximalen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-linear unabhängigen Teilmenge
• die Dimension des ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Vektorraums ${\displaystyle G\otimes \mathbb {Q} }$ (siehe Tensorprodukt).

Diese Zahl heißt Rang von ${\displaystyle G}$.

Beispiele und Eigenschaften

• Der Rang von ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ ist gleich ${\displaystyle n}$; allgemeiner ist der Rang der freien abelschen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(I)}}$ auf einer Menge ${\displaystyle I}$ gleich der Kardinalität von ${\displaystyle I}$.
• Die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ hat Rang n.
• Eine abelsche Gruppe ist genau dann eine Torsionsgruppe, wenn ihr Rang 0 ist.
• Der Rang ist additiv auf kurzen exakten Sequenzen: Ist

${\displaystyle 0\longrightarrow G'\longrightarrow G\longrightarrow G''\longrightarrow 0}$

eine exakte Sequenz abelscher Gruppen, so ist der Rang von ${\displaystyle G}$ gleich der Summe der Ränge von ${\displaystyle G'}$ und ${\displaystyle G''}$.