Tangentialkegel und Normalkegel

Der Tangential- beziehungsweise Normalkegel e​iner Teilmenge e​ines euklidischen Raumes i​st in d​er Geometrie e​ine Verallgemeinerung d​es Begriffes d​es Tangentialraumes respektive d​es Normalenvektors e​iner Menge u​nd ermöglicht dadurch d​ie Anwendung algebraischer Methoden a​uch auf nicht-differenzierbare geometrische Objekte. Sowohl d​er Tangential- a​ls auch d​er Normalkegel s​ind Kegel i​m Sinne d​er linearen Algebra, wodurch d​ie Bezeichnung gerechtfertigt wird. Der Normalkegel w​ird auch a​ls Polarkegel bezeichnet. Die e​rste einheitliche Fassung d​es Begriffs d​es Tangentialkegels stammt v​on dem US-amerikanischen Topologen Hassler Whitney a​us dem Jahre 1965, allerdings beschrieb d​iese eher d​en Rand d​es Kegels i​m heutigen Sinne.[1] Die modernen Definitionen entwickelten s​ich im Umfeld d​er Theorie d​er Mengen positiver Reichweite u​nd ergänzten d​eren Programm, u​m Erkenntnisse a​us der Differentialgeometrie a​uf eine größere Klasse v​on Mengen – a​ls nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten – übertragen z​u können.[2]

Definition

Sei ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine Teilmenge eines euklidischen Raumes und ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ein Punkt, der nicht notwendig selbst in ${\displaystyle A}$ liegen muss, schließlich bezeichne ${\displaystyle \|\cdot \|}$ die Euklidische Norm.

Dann heißt d​ie Menge

${\displaystyle \operatorname {Tan} (A;a):=\left\{u\in \mathbb {R} ^{n}|\exists (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A\setminus \{a\}\colon a_{i}\to a\land {\frac {a_{i}-a}{\|a_{i}-a\|}}\to {\frac {u}{\|u\|}}\right\}\cup \{{\underline {0}}\}}$

der Tangentialkegel von ${\displaystyle A}$ an ${\displaystyle a}$ und sein polarer Kegel

${\displaystyle \operatorname {Nor} (A;a):=\operatorname {pol} \ \operatorname {Tan} (A;a)=\{v\in \mathbb {R} ^{n}|\forall u\in \operatorname {Tan} (A;a)\colon v^{T}u\leq 0\}}$

wird Normalkegel oder Polarkegel von ${\displaystyle A}$ an ${\displaystyle a}$ genannt.

Falls ${\displaystyle a}$ im Rand ${\displaystyle \partial A}$ liegt, so besteht der Tangentialkegel anschaulich aus allen von ${\displaystyle a}$ ausgehenden Strahlen die ${\displaystyle A}$ noch in einem weiteren Punkt treffen. Der Normalkegel ist dann die Menge aller Vektoren, die mit allen diesen Strahlen einen Winkel von mindestens 90 ° einschließen.

Normaleneinheitsbündel

Auf diesen Begriffen aufbauend, lässt sich – i​n Analogie z​um Einheitstangentialbündel d​er Differentialgeometrie – d​as Normaleneinheitsbündel definieren:

${\displaystyle \operatorname {nor} A:=\{(a;{\vec {o}})\in \mathbb {R} ^{2n}|a\in A\ \land \ {\vec {o}}\in \operatorname {Nor} (A;a)\ \land \ \|{\vec {o}}\|=1\}=\bigsqcup _{a\in A}\left(\operatorname {Nor} (A;a)\cap S^{n-1}\right)}$

Es ist also die disjunkte Vereinigung der äußeren Normalenvektoren der Länge 1 zu jedem Punkt von ${\displaystyle A}$. Diese Definition ist sinnvoll, denn ein Kegel wird jeweils vollständig durch seine Einheitsvektoren beschrieben.

Dabei i​st zu beachten, d​ass das Normaleneinheitsbündel – i​m Gegensatz z​um Tangentialbündel – i​m Allgemeinen kein Vektorraumbündel i​m Sinne d​er Vektoranalysis darstellt, d​a die Normalkegel i​n der Regel k​eine Untervektorräume sind.

Eigenschaften

• Sowohl Tangential- als auch Normalkegel sind abgeschlossene Kegel.
• Des Weiteren ist der Normalkegel stets konvex.
• Zwischen den Kegeln gilt die Beziehung ${\displaystyle \operatorname {pol} \ \operatorname {Nor} (A;a)\supseteq \operatorname {Tan} (A;a)}$.
• Hat ${\displaystyle A}$ positive Reichweite, so gilt sogar ${\displaystyle \operatorname {pol} \ \operatorname {Nor} (A;a)=\operatorname {Tan} (A;a)}$.
  • Insbesondere muss dann ${\displaystyle \operatorname {Tan} (A;a)}$ ebenfalls konvex sein.
  • Außerdem lässt sich zeigen, dass ${\displaystyle \operatorname {nor} A}$ in diesem Fall im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ abgeschlossen ist.
• Falls ${\displaystyle a\in A^{\circ }}$ ein innerer Punkt ist, entarten die beiden Kegel zu ${\displaystyle \operatorname {Tan} (A;a)=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \operatorname {Nor} (A;a)=\{{\underline {0}}\}}$
• Ist andersherum ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}\setminus {\overline {A}}}$ von ${\displaystyle A}$ getrennt, dann gilt umgekehrt: ${\displaystyle \operatorname {Tan} (A;a)=\{{\underline {0}}\}}$ und ${\displaystyle \operatorname {Nor} (A;a)=\mathbb {R} ^{n}}$
• In der Optimierung (Mathematik) verwendet man Tangentialkegel zur Herleitung von Optimalitätskriterien. Meist wird aber der linearisierte Tangentialkegel verwendet, da dieser leichter zu handhaben ist.

Hinweis: Einige Autoren beschränken sich deshalb in der Definition von vornherein auf Punkte im Abschluss ${\displaystyle a\in {\overline {A}}}$.[3]

• Bildet der Rand des Tangentialkegels einen Untervektorraum im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ – in diesem Fall liegt ${\displaystyle a}$ notwendig im Rand ${\displaystyle \partial A}$ – so ist ${\displaystyle A}$ im Punkt ${\displaystyle a}$ differenzierbar und ${\displaystyle \partial \operatorname {Tan} (A;a)}$ stimmt mit dem klassischen Tangentialraum ${\displaystyle T_{a}A}$ überein.
  • Ist ${\displaystyle \partial \operatorname {Tan} (A;a)}$ sogar eine Hyperebene, das heißt von Kodimension 1, so wird ${\displaystyle \operatorname {Nor} (A;a)}$ vom entsprechenden Normalenvektor erzeugt.

Einzelnachweise

1. Hassler Whitney: Local properties of analytic varieties; in: Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse), 205–244, Princeton University Press, Princeton, NJ, USA, 1965
2. Christoph Thäle: 50 Years sets of positive reach - A survey; in: Surveys in Mathematics and its Applications Vol. 3, 123–165, 2008; zitiert nach: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/SMA/v03/v03.html Aufgerufen am 1. Juli 2012
3. R. Tyrrell Rockafellar: Clarke's tangent cones and the boundaries of closed sets in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$; in: Nonlinear Analysis, Theory, Methods, and Applications Vol. 3, 145–154, 1979; zitiert nach: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01552475/document, Aufgerufen am 23. Juni 2022