Disjunkte Vereinigung

Im mathematischen Teilgebiet d​er Mengenlehre g​ibt es z​wei leicht unterschiedliche Verwendungen d​es Begriffes disjunkte Vereinigung.

Die disjunktive Vereinigung der Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ist eine andere Menge ${\displaystyle A\sqcup B}$, die aus allen Elementen von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ konstruiert wird, ohne verdoppelte Elemente aus ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ als "dieselben" zu identifizieren. Im Bild besitzt jedes Polygon ein "Etikett", welches die Unterscheidung von sonst gleichen Figuren ermöglicht.

Definition

Die nachfolgende Unterscheidung entspricht g​enau dem Unterschied zwischen innerer u​nd äußerer direkter Summe. Die beiden Definitionen stellen d​ie verschiedenen Sachverhalte dar, d​ie jedoch b​eide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden. Daher m​uss der Begriff abhängig v​on seinem Kontext verstanden werden. Die Notationen i​m Artikel werden i​n der Literatur n​icht nur i​n dieser Art verwendet, m​eist letztere für ersteren Umstand.

Vereinigung disjunkter Mengen

Eine Menge ${\displaystyle X}$ ist die disjunkte Vereinigung eines Systems ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ von Teilmengen ${\displaystyle X_{i}\subseteq X}$, geschrieben

${\displaystyle X={\dot {\bigcup _{i\in I}}}X_{i},}$

wenn d​ie folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle X_{i}\cap X_{j}=\varnothing ,}$ falls ${\displaystyle i\neq j}$,   das heißt also, die ${\displaystyle X_{i}}$ sind paarweise disjunkt;
• ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup \limits _{i\in I}X_{i}}$,   das heißt, ${\displaystyle X}$ ist die Vereinigung aller Mengen ${\displaystyle X_{i}}$.

Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen

Sind Mengen ${\displaystyle X_{i}}$ für ${\displaystyle i\in I}$ gegeben, so heißt die Menge

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}X_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}}$

die disjunkte Vereinigung der Mengen ${\displaystyle X_{i}}$. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

Disjunkte Vereinigung topologischer Räume

Seien ${\displaystyle (X,\tau )}$ und ${\displaystyle (Y,{\tilde {\tau }})}$ topologische Räume. Die disjunkte Vereinigung von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist gegeben durch ${\displaystyle X\sqcup Y=(X\times \{0\})\cup (Y\times \{1\})}$. Versehen mit der Topologie ${\displaystyle \tau \sqcup {\tilde {\tau }}=\{U\sqcup V:U\in \tau {\text{ und }}V\in {\tilde {\tau }}\}}$, ist ${\displaystyle (X\sqcup Y,\tau \cup {\tilde {\tau }})}$ wieder ein topologischer Raum. Man spricht auch von der "topologischen Summe" von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.[1]

Eigenschaften

• Für die Mächtigkeiten gilt: ${\displaystyle \left|\bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}\right|=\sum _{i\in I}|X_{i}|}$. In der Kardinalzahlarithmetik ist die Summe gerade durch diese Beziehung definiert.
• Die disjunkte Vereinigung ${\displaystyle \bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}}$ ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen ${\displaystyle f\colon \bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}\to Y}$ entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ mit ${\displaystyle f_{i}\colon X_{i}\to Y}$.
• Sind die Mengen ${\displaystyle X_{i}}$ disjunkt, so ist die kanonische Abbildung ${\displaystyle \bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}}$ bijektiv.

Beispiele

Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen

Disjunkte Vereinigung von ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ und ${\displaystyle B=\{4,5,6\}}$.

• ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ Beide Mengen sind disjunkt
• ${\displaystyle A\;{\dot {\cup }}\;B=C}$
• ${\displaystyle C}$ ist die disjunkte Vereinigung der Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ⇒ ${\displaystyle C=\{1,2,3,4,5,6\}}$
• Die Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bilden hierbei eine Partition der Menge ${\displaystyle C}$
• Die disjunkte Vereinigung ${\displaystyle A\sqcup B}$ im zweiten Sinn liefert die Paarmenge ${\displaystyle D=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(2,6)\}}$. Die Projektion ${\displaystyle \pi _{2}}$ bildet ${\displaystyle D}$ bijektiv auf ${\displaystyle C}$ ab.

Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen

Disjunkte Vereinigung von ${\displaystyle X_{1}=\{1,2,3\}}$ und ${\displaystyle X_{2}=\{1,2,3,4\}}$.

• ${\displaystyle I=\{1,2\}}$
• ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup \limits _{i\in I}X_{i}=\bigcup \limits _{i\in I}\{(i,x)\mid x\in X_{i}\}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}}$

Einzelnachweise

1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 15.