Strahl (Geometrie)

Ein Strahl bzw. e​ine Halbgerade i​st in d​er Geometrie – anschaulich gesprochen – e​ine gerade Linie, d​ie auf e​iner Seite begrenzt ist, s​ich aber a​uf der anderen Seite i​ns Unendliche erstreckt.

• Eine Halbgerade ist ein geometrisches Objekt, das entsteht, wenn ein Punkt eine Gerade, auf der er liegt, teilt. Dabei ist der Punkt wahlweise Teil der Halbgeraden oder nicht.
• Ein Strahl verfügt über eine Orientierung: Er geht von einem Anfangspunkt aus.

Strahlen u​nd Halbgeraden müssen demnach unterschieden werden v​on Geraden, d​ie beidseitig unbegrenzt sind, u​nd von Strecken, d​ie auf beiden Seiten begrenzt sind.

Geometrische Darstellung

Die in der Skizze verwendete Schreibweise ${\displaystyle [AB}$ drückt aus, dass es sich um eine Teilmenge der Geraden ${\displaystyle AB}$ handelt, die durch den Punkt ${\displaystyle A}$ begrenzt wird, sich aber über den Punkt ${\displaystyle B}$ hinaus erstreckt.

Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) lässt sich die Halbgerade ${\displaystyle [AB}$ definieren als die Menge aller Punkte ${\displaystyle X}$ auf der Geraden ${\displaystyle AB}$, für die ${\displaystyle A}$ nicht zwischen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle X}$ liegt.

Betrachtet man eine Gerade ${\displaystyle g}$ und einen beliebigen Punkt ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle g}$, so lassen sich die beiden dadurch festgelegten Halbgeraden ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ charakterisieren als nicht leere Teilmengen von ${\displaystyle g}$, die folgende Bedingungen erfüllen:

• Jeder Punkt auf der Geraden ${\displaystyle g}$, der nicht mit ${\displaystyle P}$ übereinstimmt, gehört zu genau einer der beiden Teilmengen ${\displaystyle h_{1}}$ oder ${\displaystyle h_{2}}$.
• Ist ${\displaystyle P_{1}}$ ein beliebiger Punkt von ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$ ein beliebiger Punkt von ${\displaystyle h_{2}}$, so liegt ${\displaystyle P}$ zwischen ${\displaystyle P_{1}}$ und ${\displaystyle P_{2}}$.

Damit i​st die Halbgerade e​ng mit d​em Begriff Intervall verbunden: Ein Intervall lässt s​ich als Schnittmenge zweier Halbgeraden definieren.

Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade ${\displaystyle [AB}$ der Menge aller Punkte ${\displaystyle X}$, deren Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {X}}}$ gegeben ist durch

${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda ({\vec {B}}-{\vec {A}})}$ mit ${\displaystyle \lambda \geq 0}$.

Dabei sind ${\displaystyle {\vec {A}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ die Ortsvektoren der Endpunkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle \lambda }$ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung.

Siehe auch

• Seiteneinteilung