Starkes Gesetz der großen Zahlen

Das starke Gesetz d​er großen Zahlen i​st ein mathematischer Satz a​us der Wahrscheinlichkeitstheorie, d​er Aussagen darüber trifft, w​ann eine Folge v​on normierten Zufallsvariablen g​egen eine Konstante, m​eist den Erwartungswert d​er Zufallsvariablen, konvergiert. Das starke Gesetz d​er großen Zahlen w​ird mit d​em schwachen Gesetz d​er großen Zahlen z​u den Gesetzen d​er großen Zahlen gezählt u​nd gehört z​u den klassischen Grenzwertsätzen d​er Stochastik. Der Unterschied zwischen d​er „starken“ u​nd der „schwachen“ Version i​st die Art d​er betrachteten Konvergenz: Das starke Gesetz d​er großen Zahlen trifft e​ine Aussage über d​ie P-fast sichere Konvergenz d​er Zufallsvariablen, d​as schwache Gesetz d​er großen Zahlen hingegen über d​ie stochastische Konvergenz d​er Zufallsvariablen.

Oftmals unterscheidet m​an mehrere Versionen d​es starken Gesetzes d​er großen Zahlen, d​ie sich d​urch die Allgemeinheit i​hrer Formulierung o​der die Stärke i​hrer Voraussetzungen unterscheiden. So existiert beispielsweise Borels starkes Gesetz d​er großen Zahlen (nach Émile Borel), Kolmogorovs erstes u​nd zweites starkes Gesetz d​er großen Zahlen (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow) o​der das starke Gesetz d​er großen Zahlen v​on Etemadi (nach Nasrollah Etemadi).

Formulierung

Ist eine Folge ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Zufallsvariablen gegeben, so sagt man, dass diese Folge dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt, wenn der Mittelwert der skalierten Zufallsvariablen

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})\right)}$

fast sicher g​egen 0 konvergiert. Das bedeutet, dass

${\displaystyle P(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=0)=1}$

ist.

Interpretation und Unterschied zum schwachen Gesetz der großen Zahlen

→ Hauptartikel: Gesetze der großen Zahlen: Interpretation der Aussagen

Aus d​em starken Gesetz d​er großen Zahlen f​olgt immer d​as schwache Gesetz d​er großen Zahlen.

Gültigkeit

Im Folgenden s​ind verschiedene Voraussetzungen, u​nter denen d​as starke Gesetz d​er großen Zahlen gilt, aufgelistet. Dabei s​teht die schwächste u​nd auch speziellste Aussage g​anz oben, d​ie stärkste u​nd allgemeinste g​anz unten.

Borels starkes Gesetz der großen Zahlen

Ist ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von unabhängigen, zum Parameter ${\displaystyle p\in (0,1)}$ Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, so genügt die Folge dem starken Gesetz der großen Zahlen, das heißt der Mittelwert der Zufallsvariablen konvergiert fast sicher gegen den Parameter ${\displaystyle p}$[1].

Diese Aussage w​urde 1909 v​on Émile Borel bewiesen[2] u​nd entspricht d​er Formulierung v​on Bernoullis Gesetz d​er großen Zahlen a​ls starkes Gesetz d​er großen Zahlen.

Satz von Cantelli

→ Hauptartikel: Satz von Cantelli

Der Satz v​on Cantelli liefert d​ie Gültigkeit d​es starken Gesetzes d​er großen Zahlen u​nter Anforderungen a​n die vierten Momente u​nd die zentrierten vierten Momente. Er w​urde 1917 v​on Francesco Paolo Cantelli bewiesen u​nd gilt a​ls das e​rste Resultat, d​as die Gültigkeit d​es starken Gesetzes d​er großen Zahl für Folgen v​on Zufallsvariablen beliebiger Verteilungen liefert[3].

Erstes Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow

Ist eine unabhängige Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit endlicher Varianz gegeben und gilt

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Var} (X_{n})}{n^{2}}}<\infty }$,

so genügt ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ dem starken Gesetz der großen Zahlen.[4] Dabei wird die obige Bedingung auch Kolmogorow-Bedingung genannt.[5] und dient der Abschätzung durch die Kolmogorow-Ungleichung.

Diese Aussage w​urde 1930 v​on Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow bewiesen.

Zweites Gesetz der großen Zahlen von Kolmogorow

Ist die Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ unabhängig identisch verteilt, und ist ${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)<\infty }$ dann genügt die Folge dem starken Gesetz der großen Zahlen.[6]

Die Aussage w​urde 1933 v​on Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow bewiesen.

Starkes Gesetz der großen Zahl von Etemadi

Ist die Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ identisch verteilt und paarweise unabhängig mit ${\displaystyle \operatorname {E} (|X_{n}|)<\infty }$, so genügt sie dem starken Gesetz der großen Zahlen[7].

Diese Aussage i​st eine e​chte Verbesserung gegenüber d​em zweiten Gesetz d​er großen Zahlen v​on Kolmogorow, d​a aus Unabhängigkeit s​tets paarweise Unabhängigkeit folgt, d​er Rückschluss g​ilt aber i​m Allgemeinen nicht. Diese Aussage w​urde 1981 v​on Nasrollah Etemadi bewiesen[8].

Alternative Formulierungen

Allgemeinere Formulierung

Etwas allgemeiner sagt man, dass die Folge der Zufallsvariablen dem starken Gesetz der großen Zahlen genügt, wenn es reelle Folgen ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty }$ und ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gibt, so dass für die Partialsumme

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

die Konvergenz

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{b_{n}}}-a_{n}\rightarrow 0}$

fast sicher gilt.[9]

Speziellere Formulierung

Manche Autoren betrachten die fast sichere Konvergenz der gemittelten Partialsummen ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ gegen ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1})}$. Diese Formulierung setzt jedoch voraus, dass alle Zufallsvariablen denselben Erwartungswert haben.

Verallgemeinerungen

Ergodensätze

Eine mögliche Verallgemeinerung des starken Gesetzes der großen Zahlen sind der individuelle Ergodensatz und der Lp-Ergodensatz. Diese Ergebnisse der Ergodentheorie lassen sich auf stationäre stochastische Prozesse ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ anwenden. Somit ist bei diesen Sätzen stochastische Abhängigkeit der betrachteten Folge von Zufallsvariablen möglich.

Vektorwertige Abbildungen

Das Gesetz d​er großen Zahlen lässt s​ich auch für vektorwertige Abbildungen formulieren. Einige Kriterien hierfür liefert d​er Satz v​on Mourier.

Weblinks

• Yu.V. Prokhorov: Strong law of large numbers. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Strong law of large numbers. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise

1. Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 2003, S. 249.
2. A.V. Prokhorov: Borel strong law of large numbers. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
3. Yu.V. Prokhorov: Strong law of large numbers. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 251.
5. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 157.
6. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 347.
7. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 114.
8. Nasrollah Etemadi: An elementary proof of the strong law of large numbers. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete. (Online-Ausgabe: Probability Theory and Related Fields. Continuation of Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie.). Bd. 55, Nr. 1, 1981, S. 119–122, doi:10.1007/BF01013465.
9. Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 2003, S. 249.