Satz von Mourier

Der Satz v​on Mourier i​st ein Lehrsatz d​er Wahrscheinlichkeitsrechnung, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Er g​eht auf d​ie französische Mathematikerin Édith Mourier zurück u​nd formuliert e​ine hinreichende Bedingung z​um Bestehen d​es starken Gesetzes d​er großen Zahlen für gewisse Folgen v​on Zufallselementen i​n einem separablen Banachraum über d​em Körper d​er reellen Zahlen. Der Satz lässt s​ich als Verallgemeinerung d​es zweiten kolmogorowschen Gesetzes d​er großen Zahlen auffassen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich angeben w​ie folgt:[1][2][3]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$, ein separabler ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachraum ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ und eine Folge

${\displaystyle {\xi }_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to (X,\|{\cdot }\|)\;(n\in \mathbb {N} )}$

von Zufallselementen in ${\displaystyle X}$.

Die Folge sei stochastisch unabhängig und ihre Glieder ${\displaystyle {\xi }_{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ seien identisch verteilt.

Dabei gelte

${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\|{\xi }_{1}\|{\bigr )}<{\infty }}$   .

Dann gilt ${\displaystyle \operatorname {P} }$-fast sicher die Konvergenz

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\xi _{j}=\operatorname {E} {\bigl (}{\xi }_{1}{\bigr )}}$   .

Erläuterungen

• Eine Borel-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle \xi \colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to (X,{\mathcal {B}}(X))}$ mit Werten in einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ wird allgemein als Zufallselement bezeichnet.
• Bei einem Zufallselement ${\displaystyle \xi }$ mit Werten in einem separablen normierten ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )}}$ stets dessen Erwartungswert bezeichnet, sofern dieser definiert ist. Er ist zumindest immer dann definiert, wenn für ${\displaystyle \xi }$ das Pettis-Integral existiert. Ist dies der Fall, so ist der Erwartungswert gleich dem Pettis-Integral. Der Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )}}$ zeichnet sich dadurch aus, dass für stetige Linearformen ${\displaystyle f\colon (X,\|{\cdot }\|)\to \mathbb {R} }$ stets ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}f\circ \xi {\bigr )}=f(\operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )})}$ gilt.[4]
• Für ein Zufallselement ${\displaystyle \xi }$ mit Werten in einem separablen ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachraum ${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ ist ${\displaystyle \|\xi \|\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;,\;\omega \mapsto {\|\xi (\omega )\|}\;(\omega \in \Omega )}$ stets eine nichtnegative reelle Zufallsvariable, für die der Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\|\xi \|{\bigr )}\in [0\;,\;{\infty }]}$ stets existiert.[5]   Ist dabei sogar ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\|\xi \|{\bigr )}<{\infty }}$, so existiert auch der Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\xi {\bigr )}}$ .[6]

Verwandtes Resultat im Zusammenhang mit Kolmogorows erstem Gesetz der großen Zahlen

Ausgehend v​on dem Satz v​on Mourier ergibt s​ich die Frage, o​b und inwieweit a​uch Kolmogorows erstes Gesetz d​er großen Zahlen a​uf Folgen v​on Zufallselementen i​n normierten Vektorräumen auszudehnen ist. Wie s​ich zeigen lässt, i​st diese Ausdehnung zumindest i​mmer im Falle d​er separablen Hilberträume möglich. Es g​ilt nämlich d​er folgende Satz:[7]

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$, ein separabler ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Hilbertraum ${\displaystyle H=(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle ,{\|{\cdot }\|})}$[8] und eine Folge

${\displaystyle {\xi }_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to H\;(n\in \mathbb {N} )}$

von Pettis-integrierbaren Zufallselementen in ${\displaystyle H}$.

Die Folge sei stochastisch unabhängig und es gelte

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\;{\frac {\operatorname {E} {\bigl (}{\|{\xi }_{n}-\operatorname {E} ({\xi }_{n})\|}^{2}{\bigr )}}{n^{2}}}<{\infty }}$   .[9]

Dann genügt die Folge der Bedingung

${\displaystyle \operatorname {P} \left(\lim _{n\to \infty }{\frac {\|\sum _{j=1}^{n}{{\bigl (}{\xi }_{j}-{\operatorname {E} ({\xi }_{j})}{\bigr )}\|}}{n}}=0\right)=1}$

und damit dem starken Gesetz der großen Zahlen.

Quellen und Hintergrundliteratur

• P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5.MR0501219
• R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
• Michel Ledoux, Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Band 23). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1991, ISBN 3-540-52013-9. MR1102015
• Édith Mourier: Eléments aléatoires dans un espace de Banach. In: Annales de l'Institut Henri Poincaré. Band 13, 1953, S. 161–244. MR0064339
• Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 35). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1968. MR0245080
• N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces (= Mathematics and its Applications (Soviet Series). Band 14). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, Tokio 1987, ISBN 90-277-2496-2.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 337–338
2. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 452–454
3. Pál Révész: Die Gesetze der grossen Zahlen. 1968, S. 146–147
4. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 335
5. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 447
6. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 336
7. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 455
8. Hier ist ${\displaystyle h\mapsto {\|h\|}={\sqrt {\langle h,h\rangle }}}$ die auf dem Hilbertraum durch das Skalarprodukt erzeugte Norm.
9. Die zuletzt genannte Bedingung entspricht der aus dem Fall der reellen Zufallsvariablen bekannten Varianzbedingung.