Satz von Kuiper

Der Satz von Kuiper ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Funktionalanalysis und dem Gebiet der Topologie angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des niederländischen Mathematikers Nicolaas Hendrik Kuiper aus dem Jahre 1965 zurückgeht. Kuiper behandelt hier Homotopieeigenschaften der Gruppe der invertierbaren beschränkten linearen Operatoren eines unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraums ${\displaystyle H}$ und bestätigt mit seinem Satz eine von Michael Atiyah, Albert Solomonowitsch Schwarz und Richard Sheldon Palais aufgestellte Vermutung.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

Der Satz v​on Kuiper lässt s​ich formulieren w​ie folgt:[4][5][3]

Gegeben sei ein unendlich-dimensionaler separabler ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Hilbertraum ${\displaystyle H}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$, der Körper der reellen Zahlen, oder ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$, der Körper der komplexen Zahlen, oder ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} }$, der Schiefkörper der Quaternionen, sei.

Hier seien ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(H)}$, versehen mit der Operatornorm, der topologische Ring der beschränkten linearen Operatoren auf ${\displaystyle H}$ sowie ${\displaystyle {\mathfrak {LG}}(H)\subset {\mathfrak {L}}(H)}$ die darin enthaltene topologische Gruppe der invertierbaren beschränkten linearen ${\displaystyle H}$-Operatoren und schließlich ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(H)\subset {\mathfrak {LG}}(H)}$ die ebenfalls darin enthaltene Untergruppe der unitären ${\displaystyle H}$-Operatoren.

Dann gilt:

(1) ${\displaystyle {\mathfrak {LG}}(H)}$ ist als topologischer Teilraum von ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(H)}$ ein zusammenziehbarer Raum.

(2) ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(H)}$ ist ein Retrakt von ${\displaystyle {\mathfrak {LG}}(H)}$ und daher ebenfalls zusammenziehbar.

Anmerkungen

• Man nennt die Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {LG}}(H)}$ manchmal auch die Lineare Gruppe (englisch linear group) von ${\displaystyle H}$.[3] Kuiper nennt sie in seiner Originalarbeit die Allgemeine Lineare Gruppe (englisch general linear group) von ${\displaystyle H}$.[6][7]
• ${\displaystyle {\mathfrak {LG}}(H)}$ist innerhalb ${\displaystyle {\mathfrak {L}}(H)}$ eine offene Teilmenge.[6]
• Aus der Topologie ist bekannt, dass ein zusammenziehbarer Raum stets wegzusammenhängend und dass jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raumes seinerseits ein zusammenziehbarer Raum ist.[8]
• Lässt man an die Stelle des unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ gewisse klassische Banachräume ${\displaystyle X}$ treten, so gilt für ${\displaystyle {\mathfrak {LG}}(X)}$ die obige Teilaussage (1) zur Zusammenziehbarkeit immer noch, wie etwa Dietmar Arlt für ${\displaystyle X=c_{0}}$ zeigen konnte.[3][9]
• Wie jedoch Adrien Douady gezeigt hat, lassen sich direkte Summen zweier klassischer Banachräume konstruieren, so dass für diese die Teilaussage (1) keine Gültigkeit mehr hat.[10][3]
• Hinsichtlich der Bedeutung des Kuiper'schen Satzes lässt sich auf eine Anmerkung bei Hirzebruch/Scharlau verweisen, wonach der Satz von Wichtigkeit für die Beziehungen zwischen algebraischer Topologie und Funktionalanalysis ist.[5]

Literatur

• D. Arlt: Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes c₀ der Nullfolgen. In: Inventiones Mathematicae. Band 1, 1966, S. 36–44, doi:10.1007/BF01389697 (MR0198259).
• Bernhelm Booß: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977, ISBN 3-540-08451-7 (MR0478242).
• Adrien Douady: Un espace de Banach dont le groupe linéaire n’est pas connexe. In: Indagationes Mathematicae. Band 68, 1965, S. 787–789 (MR0187056).
• Nicolaas H. Kuiper: The homotopy type of the unitary group of Hilbert space. In: Topology. Band 3, 1965, S. 19–30 (MR0179792).
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
• Dieter Lutz: Topologische Gruppen. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1976, ISBN 3-411-01502-0.
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuse, Boston / Basel / Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Nicolaas H. Kuiper: The homotopy type of the unitary group of Hilbert space. In: Topology, 3, S. 19–30
2. Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 150 ff
3. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 538
4. Kuiper, op. cit., S. 20
5. Hirzebruch/Scharlau, op. cit., S. 151
6. Kuiper, op. cit., S. 19
7. Allerdings sprechen manche Autoren von einer linearen Gruppe nur in Bezug auf Gruppen linearer Automorphismen auf endlichdimensionalen Vektorräumen; siehe etwa: Dieter Lutz: Topologische Gruppen, 1976, S. 61.
8. Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 226
9. D. Arlt: Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes c₀ der Nullfolgen. in: Invent. Math. 1, S. 36–44
10. Adrien Douady: Un espace de Banach dont le groupe linéaire n’est pas connexe. in: Indag. Math. 68, S. 787–789