Direkte Summe (Banachraum)

Die direkte Summe v​on Banachräumen i​st eine i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis verwendete Methode, a​us gegebenen Banachräumen n​eue zu konstruieren. Dabei werden d​ie algebraischen direkten Summen m​it einer geeigneten Norm versehen. Diese m​acht endliche direkte Summen bereits z​u Banachräumen, b​ei unendlich vielen Summanden m​uss man n​och vervollständigen.

Endliche direkte Summen

Es seien ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ normierte Räume, deren Normen mit ${\displaystyle \|\cdot \|}$ bezeichnet seien. Dann ist die direkte Summe ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$ wieder ein normierter Raum, wenn man darauf die Normen

${\displaystyle \|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|_{p}:=\left(\sum _{j=1}^{n}\|x_{j}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},\quad \quad 1\leq p<\infty }$

oder

${\displaystyle \|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|_{\infty }:=\max _{j=1,\ldots ,n}\|x_{j}\|}$

erklärt.[1] Diese Normen sind untereinander äquivalent und induzieren auf der direkten Summe die Produkttopologie der ${\displaystyle X_{j}}$ .[2] Die direkte Summe ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$ ist mit jeder dieser Normen genau dann ein Banachraum, wenn jeder der ${\displaystyle X_{j}}$ ein Banachraum ist.[3] Im Falle von Hilberträumen verwendet man obige Definition für ${\displaystyle p=2}$ , denn nur mit dieser Norm ist die direkte Summe wieder ein Hilbertraum.

Unendliche Summen

Es sei ${\displaystyle (X_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Banachräumen, wobei die Norm auf jedem ${\displaystyle X_{j}}$ mit ${\displaystyle \|\cdot \|}$ bezeichnet sei. Dann definiert man[4]

${\displaystyle \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{p}=\left\{(x_{j})_{j}\in \prod _{j\in \mathbb {N} }X_{j};\,\sum _{j\in \mathbb {N} }\|x_{j}\|^{p}<\infty \right\}}$

und

${\displaystyle \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{\infty }=\left\{(x_{j})_{j}\in \prod _{j\in \mathbb {N} }X_{j};\,\sup _{j\in \mathbb {N} }\|x_{j}\|<\infty \right\}}$ .

Es handelt sich um Untervektorräume des kartesischen Produktes ${\displaystyle \prod _{j\in \mathbb {N} }X_{j}}$ und die Normen

${\displaystyle \|(x_{j})_{j}\|_{p}:=\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }\|x_{j}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

bzw.

${\displaystyle \|(x_{j})_{j}\|_{\infty }:=\sup _{j\in \mathbb {N} }\|x_{j}\|}$

machen s​ie zu Banachräumen. Schließlich ist

${\displaystyle \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{0}=\left\{(x_{j})_{j}\in \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{\infty };\,\|x_{j}\|\rightarrow 0\right\}}$

ein Unterbanachraum.

Wählt man speziell ${\displaystyle X_{j}=\mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle X_{j}=\mathbb {C} }$ für alle j, so erhält man die bekannten Folgenräume ${\displaystyle \ell ^{p},\ell ^{\infty }}$ bzw. ${\displaystyle c_{0}}$ . Man nennt daher ${\displaystyle \textstyle \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{p}}$ die ${\displaystyle \ell ^{p}}$ -Summe der Banachräume, für ${\displaystyle p=\infty }$ bzw. ${\displaystyle p=0}$ spricht man von der ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ -Summe bzw. ${\displaystyle c_{0}}$ -Summe. Sind die Banachräume alle gleich, etwa gleich ${\displaystyle X}$ , so schreibt man obige Räume kürzer als ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ bzw. ${\displaystyle c_{0}(X)}$ .[5]

Bezeichnet man den Dualraum eines Banachraums ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle X^{*}}$ , so hat man in Analogie zu den Folgenräumen:[6]

${\displaystyle \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{0}^{*}=\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}^{*}\right)_{1}}$

und

${\displaystyle \left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}\right)_{p}^{*}=\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }X_{j}^{*}\right)_{q}}$   für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ und ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ .

Dabei ist diese Dualraumbeziehung so zu verstehen, dass eine Folge ${\displaystyle \textstyle f=(f_{j})_{j}\in \prod X_{j}^{*}}$ als Funktional auf eine Folge ${\displaystyle x=(x_{j})_{j}}$ mittels der Formel ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{j\in \mathbb {N} }f_{j}(x_{j})}$ anzuwenden ist und dass die Norm des Funktionals genau die Norm in der entsprechenden Summe der Dualräume ist.

Die algebraische direkte Summe ${\displaystyle \oplus _{j}X_{j}}$ ist in der Regel selbst kein Banachraum, sie liegt aber dicht in der ${\displaystyle c_{0}}$ -Summe bzw. in den ${\displaystyle \ell ^{p}}$ -Summen für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ , letztere sind also Vervollständigungen der direkten Summe. Im Gegensatz zur Situation der endlichen direkten Summen sind die Vervollständigungen bzgl. der verschiedenen Normen nicht isomorph. Das zeigt schon das Beispiel ${\displaystyle X_{j}=\mathbb {R} }$ für alle j, denn dann sind die Vervollständigungen die ${\displaystyle \ell ^{p}}$ -Räume, die nach dem Satz von Pitt untereinander nicht isomorph sind.

In manchen Fällen bringen Konstruktionen der Art ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ keine neuen Räume hervor, was dann wieder eine nützliche Eigenschaft dieser Räume ist. So gilt beispielsweise[7]

${\displaystyle \ell ^{p}(L^{p}[0,1])\cong L^{p}[0,1]}$ für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$

${\displaystyle \ell ^{p}(\ell ^{p})\cong \ell ^{p}}$ für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$

${\displaystyle c_{0}(c_{0})\cong c_{0}}$

${\displaystyle c_{0}(C(\Delta ))\cong C(\Delta )}$ .

Dabei steht ${\displaystyle \cong }$ für isometrische Isomorphie, ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$ ist der L^p-Raum über dem Einheitsintervall und ${\displaystyle C(\Delta )}$ ist der Raum der stetigen Funktionen auf dem Cantor-Raum.

Einzelnachweise

1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 1.8.1, dort nur für p=2, der allgemeine Fall findet sich in den Übungen.
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 1.8.2
3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 1.8.6
4. J. Lindenstrauss, L. Tzafriri: Classical Banach spaces I Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 978-3-642-66559-2, Seite xii: Standard Definitions, Notations and Conventions
5. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Kapitel 2.2
6. P. Wojtaszczyk: Banach Spaces for Analysts, Cambridge studies in advanced mathematics 25, ISBN 978-0-521-56675-9 II.B. 21
7. P. Wojtaszczyk: Banach Spaces for Analysts, Cambridge studies in advanced mathematics 25, ISBN 978-0-521-56675-9 II.B. 21