Unterraum

Als Raum bezeichnet man in der Mathematik eine Menge ${\displaystyle F}$ versehen mit einer mathematischen Struktur. Unter einem Unterraum oder Teilraum versteht man eine Teilmenge ${\displaystyle G\subseteq F}$, welche bezüglich der Struktur im weitesten Sinne abgeschlossen ist. Die genaue Definition hängt von der Struktur ab.

Beispiele

Untervektorraum

→ Hauptartikel: Untervektorraum

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$. Eine Teilmenge ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle V}$ heißt Untervektorraum von ${\displaystyle V}$, wenn sie mit den von ${\displaystyle V}$ induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

• ${\displaystyle U\neq \emptyset }$
• für alle ${\displaystyle u,v\in U}$ auch ${\displaystyle u+v\in U}$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) und
• für alle ${\displaystyle \alpha \in K}$ und alle ${\displaystyle u\in U}$ auch ${\displaystyle \alpha \cdot u\in U}$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation)

gilt.

Topologischer Raum

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ sei ein topologischer Raum auf der Menge ${\displaystyle X}$ mit der Familie der offenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Jede Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ wird zu einem Unterraum, wenn darauf die Durchschnitte von ${\displaystyle U}$ mit den in ${\displaystyle X}$ offenen Mengen als offene Mengen des Unterraums definiert werden. ${\displaystyle \left(U,\left\{O\cap U\,|\,O\in {\mathcal {O}}\right\}\right)}$ wird damit zu einem topologischen Raum, der die Unterraumtopologie trägt.

Dieser Unterraum erbt im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften des größeren Raumes ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$, zum Beispiel kann die Trennungseigenschaft T₄ verloren gehen.

Metrischer Raum

${\displaystyle \left(X,d\right)}$ sei ein metrischer Raum. Jede Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ wird zu einem Unterraum ${\displaystyle (U,d|_{U\times U})}$ durch Einschränken der Metrik von ${\displaystyle X\times X}$ auf ${\displaystyle U\times U}$.

Falls ${\displaystyle \left(X,d\right)}$ ein vollständiger metrischer Raum ist, so ist ${\displaystyle (U,d|_{U\times U})}$ genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn ${\displaystyle U\subseteq X}$ abgeschlossen ist.

Kategorielle Definition

Im Kontext e​iner Kategorie v​on Räumen definiert m​an einen Unterraum e​ines Raumes dadurch, d​ass ein bestimmter Monomorphismus i​n den Raum, i​n dem e​r enthalten s​ein soll, existiert. Je n​ach Situation fordert m​an etwa, d​ass der Monomorphismus extrem s​ein muss. Dies m​acht in nicht-ausgeglichenen Kategorien e​inen Unterschied, e​twa in d​er Kategorie d​er topologischen Räume: Jede stetige Injektion i​st dort e​in Monomorphismus, dieser i​st jedoch n​icht unbedingt e​ine Einbettung i​m Sinne d​er Topologie, d​a das Bild e​ines Monomorphismus a​uch gröber s​ein kann a​ls der potentielle Unterraum. Ein extremer Monomorphismus i​st dagegen gerade e​ine topologische Einbettung.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, ISBN 3-540-67790-9
• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0