Satz von Bishop

Der Satz v​on Bishop i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis, d​er auf e​ine Arbeit d​es US-amerikanischen Mathematikers Errett Bishop a​us dem Jahr 1961 zurückgeht. Er i​st eng m​it dem Approximationssatz v​on Stone-Weierstraß verbunden, welchen e​r als unmittelbare Folge n​ach sich z​ieht und d​amit verallgemeinert. Der bishopsche Satz lässt s​ich mit Hilfe d​er Sätze v​on Krein-Milman, Hahn-Banach u​nd Banach-Alaoglu herleiten.[1]

Formulierung des Satzes

Er lässt s​ich angeben w​ie folgt:[2]

Gegeben seien ein kompakter Hausdorff-Raum ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ und dazu die Funktionenalgebra ${\displaystyle C=C(X,\mathbb {C} )}$ der stetigen komplexwertigen Funktionen ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$.

Darin sei eine abgeschlossene Unteralgebra ${\displaystyle A\subseteq C}$ gegeben und weiter ein ${\displaystyle g\in C}$.

${\displaystyle A}$ enthalte die konstanten Funktionen und darüber hinaus gelte folgende Bedingung:

Ist ${\displaystyle E\subseteq X}$ irgend eine maximale ${\displaystyle A}$-antisymmetrische Teilmenge, so gibt es stets ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in E}$.

Dann ist ${\displaystyle g\in A}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die Funktionenalgebra ${\displaystyle C}$ ist wie üblich mit der Supremumsnorm versehen.
• Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra ${\displaystyle C}$ ist im Sinne der aus der Supremumsnorm erwachsenden Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.
• In der Funktionenalgebra ${\displaystyle C}$ ist ${\displaystyle A\subseteq C}$ genau dann eine Unteralgebra, wenn ${\displaystyle A}$ ein linearer Unterraum von ${\displaystyle C}$ ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei ${\displaystyle f_{1}\in A}$ und ${\displaystyle f_{2}\in A}$ stets auch für die durch komplexe Multiplikation entstehende Funktion ${\displaystyle f_{1}f_{2}\colon X\to \mathbb {C} \;,\;x\mapsto f_{1}(x)f_{2}(x)\;,\;}$ in ${\displaystyle A}$ enthalten ist.
• Eine Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq X}$ wird ${\displaystyle A}$-antisymmetrisch genannt, wenn jedes ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle f(E)\subseteq {\mathbb {R} }}$ stets eine konstante Funktion ist.
• Eine maximale ${\displaystyle A}$-antisymmetrische Teilmenge ist eine solche, welche von keiner anderen ${\displaystyle A}$-antisymmetrischen Teilmenge echt umfasst wird.
• Jede maximale ${\displaystyle A}$-antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums ${\displaystyle X}$ abgeschlossen.
• Das Mengensystem aller maximalen ${\displaystyle A}$-antisymmetrischen Teilmenge bildet eine Zerlegung von ${\displaystyle X}$.
• Den Approximationssatz von Stone-Weierstraß gewinnt man aus dem Satz von Bishop, indem man berücksichtigt, dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine ${\displaystyle A}$-antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr Punkte enthalten kann.

Das Lemma von Machado

Zum Satz v​on Bishop u​nd zum Approximationssatz v​on Stone-Weierstraß h​at der brasilianische Mathematiker Silvio Machado e​in Lemma geliefert, m​it dem e​r diese Resultate a​uf neuem Wege hergeleitet u​nd verallgemeinert hat. Es ergibt s​ich auf nichtkonstruktivem Wege, nämlich u​nter Anwendung d​es zornschen Lemmas. Das Lemma v​on Machado lässt s​ich angeben w​ie folgt:[3]

Gegeben seien ein Hausdorffraum ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ und dazu die Funktionenalgebra ${\displaystyle C_{0}=C_{0}(X,\mathbb {K} )}$ der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }$, wobei ${\displaystyle {\mathbb {K} }}$ der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen sein möge.

Weiterhin sei ${\displaystyle A}$ eine abgeschlossene Unteralgebra von ${\displaystyle C_{0}}$ und ${\displaystyle f_{0}\in C_{0}}$ .

Dann gilt:

Es existiert eine nichtleere abgeschlossene ${\displaystyle A}$-antisymmetrische Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq X}$ mit der Eigenschaft, dass hinsichtlich der zugehörigen Distanzfunktionen die Gleichung ${\displaystyle {\operatorname {dist} }_{E}(f_{0},A)={\operatorname {dist} }_{X}(f_{0},A)}$ erfüllt ist.

Erläuterungen und Anmerkungen

• In der Funktionenalgebra ${\displaystyle C_{0}}$ gelten hinsichtlich Norm und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben.
• Man sagt von einer (stetigen) Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }$, dass sie im Unendlichen verschwindet, wenn zu jeder beliebigen positiven Zahl ${\displaystyle \epsilon }$ eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle C\subseteq X}$ existiert, so dass für ${\displaystyle x\in {X\setminus C}}$ stets ${\displaystyle |f(x)|<\epsilon }$ erfüllt ist.
• Für eine Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq X}$ und eine Funktion ${\displaystyle f\in C_{0}}$ ist hierbei ${\displaystyle {\operatorname {dist} }_{S}(f,A)=\inf _{g\in A}\|f-g\|_{S}}$, wobei ${\displaystyle \|f\|_{S}=\sup _{x\in S}|f(x)|}$ bedeutet und ${\displaystyle |\cdot |}$ die Betragsfunktion ist.

Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß

Sie besagt:[4]

Hat die im Lemma von Machado auftretende abgeschlossene Unteralgebra ${\displaystyle A\subseteq C_{0}}$ die im Approximationssatz genannten allgemeinen Eigenschaften, so ist ${\displaystyle A=C_{0}}$.

Das heißt:.

Für jede abgeschlossene Unteralgebra ${\displaystyle A\subseteq C_{0}}$, welche die folgenden drei Eigenschaften hat, nämlich:

1. dass zu je zwei verschiedenen ${\displaystyle x,y\in X}$ ein ${\displaystyle f\in A}$ existiert mit ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$,

2. dass zu jedem ${\displaystyle x\in X}$ ein ${\displaystyle g\in A}$ existiert mit ${\displaystyle g(x)\neq 0}$,

3. dass – im Falle ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$ – mit jedem ${\displaystyle f\in A}$ auch die zugehörige konjugiert-komplexe Funktion ${\displaystyle {\overline {f}}\colon X\to \mathbb {K} ,x\mapsto {\overline {f(x)}},}$ in ${\displaystyle A}$ enthalten ist,

gilt auch schon ${\displaystyle A=C_{0}}$.

Literatur

• Errett Bishop: A generalization of the Stone-Weierstrass theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 11, 1961, S. 777–783 (MR0133676).
• Silvio Machado: On Bishop's generalization of the Weierstrass-Stone theorem. In: Indagationes Mathematicae. Band 39, 1977, S. 218–224 (MR0448046).
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher". Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864).
• Thomas J. Ransford: A short elementary proof of the Bishop-Stone-Weierstrass theorem. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 96, 1984, S. 309–311 (MR0757664).
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
• Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis (= Springer Undergraduate Mathematics Series. Band 15). Springer Verlag, London (u. a.) 2002, ISBN 1-85233-424-X (MR1870768 ).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise

1. Walter Rudin: Functional Analysis. 1991, S. 121 ff
2. Rudin, op. cit., S. 121
3. Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis. 2002, S. 241
4. Ó Searcóid, op. cit., S. 243