Satz von Hahn-Banach

Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.

Darüber hinaus i​st der Satz v​on Hahn-Banach d​ie Grundlage für v​iele nicht-konstruktive Existenzbeweise w​ie z. B. i​m Trennungssatz o​der im Satz v​on Krein-Milman.

Der Satz w​urde im Wesentlichen s​chon 1912[1][2] v​on Eduard Helly bewiesen. Hahn erwähnt Helly i​n seiner Arbeit v​on 1927 nicht, w​ohl aber Banach i​n seiner Arbeit v​on 1929, w​enn auch n​icht in Zusammenhang m​it dem Satz selbst.[3] Beide verwenden a​ber die Ungleichung v​on Helly. Die Benennung n​ach Hahn u​nd Banach tauchte zuerst i​n einer Arbeit v​on Frederic Bohnenblust u​nd A. Sobcyzk, d​ie den Satz a​uf komplexe Räume übertrugen.[4] Ein anderer Beweis d​es Satzes v​on Hahn-Banach, d​er nicht d​ie Ungleichung v​on Helly verwendet, w​urde 1941 v​on Jean Dieudonné gegeben.[5]

Endlichdimensionaler Fall

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums ${\displaystyle V}$ bzgl. einer fest gewählten Basis in der Form eines Zeilenvektors ${\displaystyle v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in V}$ dar, so kann man die jeweiligen ${\displaystyle i}$-ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

${\displaystyle p_{i}\colon V\to \mathbb {K} ,\quad (v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto v_{i}}$

auffassen (dabei ist ${\displaystyle \mathbb {K} }$ der Grundkörper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ). Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer solchen aus der linearen Algebra bekannten Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

${\displaystyle v=w\iff p_{i}(v)=p_{i}(w){\text{ für }}i=1,\ldots ,n.}$

Die Koordinatenfunktionen trennen daher die Punkte, d. h., sind ${\displaystyle v\neq w}$ verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index ${\displaystyle i}$, so dass ${\displaystyle p_{i}(v)\neq p_{i}(w)}$ ist. Die ${\displaystyle p_{i}}$ sind stetige lineare Funktionale auf dem Koordinatenraum.

In unendlichdimensionalen Räumen gibt es i. d. R. keine den Koordinatenfunktionen ${\displaystyle p_{i}}$ vergleichbare Konstruktion, wenn man dabei auf Stetigkeit der Koordinaten besteht. Der Satz von Hahn-Banach impliziert aber, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum (oder allgemeiner auf einem lokalkonvexen Raum) die Punkte trennt.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ .

Es s​eien nun

• ${\displaystyle U\subseteq V}$ ein linearer Unterraum;
• ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$ eine sublineare Abbildung;
• ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {K} }$ ein lineares Funktional, für das ${\displaystyle \operatorname {Re} f(u)\leq p(u)}$ für alle ${\displaystyle u\in U}$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {K} }$, so dass

• ${\displaystyle F|_{U}=f}$ und
• ${\displaystyle \operatorname {Re} F(v)\leq p(v)}$

für alle ${\displaystyle v\in V}$ gilt.

Der Beweis dieses grundlegenden Satzes ist nicht konstruktiv. Man betrachtet die Menge aller Fortsetzungen ${\displaystyle g\colon W\rightarrow {\mathbb {K} }}$ von ${\displaystyle f}$ auf Teilräume ${\displaystyle W}$ mit ${\displaystyle U\subset W\subset V}$, für die ${\displaystyle \operatorname {Re} g(w)\leq p(w)}$ für alle ${\displaystyle w\in W}$ gilt. Dann zeigt man mit dem Lemma von Zorn, dass die Menge aller solchen Fortsetzungen maximale Elemente besitzt und dass ein solches maximales Element eine gesuchte Fortsetzung ${\displaystyle F\colon V\to {\mathbb {K} }}$ ist.

Korollare

Häufig i​st eine d​er folgenden Aussagen, d​ie leicht a​us obigem Satz hergeleitet werden können, gemeint, w​enn der Satz v​on Hahn-Banach zitiert wird:

• Ist ${\displaystyle V\neq \{0\}}$ ein normierter Raum, so gibt es für jedes ${\displaystyle v\in V}$ ein lineares Funktional ${\displaystyle f}$ mit Norm ${\displaystyle 1}$, für das ${\displaystyle f(v)=\left\|v\right\|}$ gilt. Sind ${\displaystyle v,w\in V}$ verschiedene Vektoren, so erhält man die oben erwähnte Eigenschaft der Punktetrennung, indem man dies auf ${\displaystyle v-w\neq 0}$ anwendet.
• Ist allgemeiner ${\displaystyle V}$ ein normierter Raum, ${\displaystyle U}$ ein Unterraum, und liegt ${\displaystyle v\in V}$ nicht im Abschluss von ${\displaystyle U}$, so gibt es ein lineares Funktional ${\displaystyle f}$ mit Norm ${\displaystyle 1}$, das auf ${\displaystyle U}$ verschwindet und für das ${\displaystyle f(v)=\mathrm {dist} (v,U)}$ gilt.
• Ist ${\displaystyle V}$ ein normierter Raum, ${\displaystyle U}$ ein Teilraum und ${\displaystyle f}$ ein stetiges lineares Funktional auf ${\displaystyle U}$, so kann ${\displaystyle f}$ zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz ${\displaystyle V}$ fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: Die Einschränkung von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung ${\displaystyle V^{\ast }\to U^{\ast }}$ der Dualräume.
• Ist ${\displaystyle V}$ ein normierter Raum, so ist ein Unterraum ${\displaystyle U\subset V}$ genau dann dicht in ${\displaystyle V}$, falls aus ${\displaystyle x'\in V^{\ast }}$ und ${\displaystyle x'|_{U}=0}$ stets ${\displaystyle x'=0}$ folgt.[6]
• Weitere Folgerungen geometrischer Art finden sich im Artikel Trennungssatz.

Literatur

• Hans Hahn: Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214–229.
• Stefan Banach: Sur les fonctionelles linéaires I. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211–216. Zum Download verfügbar auf IMPAN.pl
• Stefan Banach: Sur les fonctionnelles linéaires II. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 223–239. Zum Download verfügbar auf IMPAN.pl
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992

Einzelnachweise

1. Helly, Über lineare Funktionaloperatoren, Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien, Band 121, 1912, S. 265–297
2. Harry Hochstadt: Eduard Helly, father of the Hahn-Banach theorem, The Mathematical Intelligencer, Band 2, 1980, Nr. 3, S. 123–125. Nach Hochstadt ist Helly's Beweis vollständig modern in der Form und identisch mit dem Standardbeweis.
3. Helly benutzte den Satz von Hahn-Banach als Lemma für einen Beweis eines Satzes von Riesz, auf den sich Banach in der Referenz zu Helly bezog.
4. Bohnenblust, Sobcyzk, Extensions of functionals on complete linear spaces, Bull. AMS, Band 44, 1938, S. 91–93. Sie verweisen darauf das ihr Beweis identisch mit dem von Francis J. Murray von 1936 ist (Murray, Linear transformations in ${\displaystyle L_{p}}$, p >1, Trans. AMS, Band 39, 1936, S. 83–100), der sich wiederum auf Banach bezieht aber nicht von Satz von Hahn-Banach spricht.
5. Dieudonné, Sur le Théoréme de Hahn-Banach, La Rev. Sci. 79, 1941, S. 642–643.
6. Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer, 2000, Korollar III.1.9