Quadratischer Variationsprozess

Ein (quadratischer) Variationsprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er wird aus einem weiteren Prozess (einem Martingal oder einem lokalen Martingal) gewonnen und erlaubt im Falle diskreter Indexmengen beispielsweise äquivalente Formulierungen des Martingalkonvergenzsatzes. Im zeitstetigen Fall entsprechen die Pfade des quadratischen Variationsprozesses fast sicher der quadratischen Variation der Pfade des zugrundeliegenden Prozesses.

In d​er stochastischen Analysis treten quadratische Variationsprozesse a​ls Integratoren i​m Ito-Integral auf.

Definition bei diskreter Indexmenge

Gegeben sei eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})}$ und sei ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein quadratintegrierbares Martingal.

Dann heißt derjenige vorhersagbare Prozess ${\displaystyle \langle X\rangle =(\langle X\rangle _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, durch den der stochastische Prozess

${\displaystyle Y=(X_{n}^{2}-\langle X\rangle _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

zu einem Martingal wird, der quadratische Variationsprozess von ${\displaystyle X}$. Er ist eindeutig bestimmt.[1]

Darstellung

Aus d​er Doob-Zerlegung f​olgt direkt

${\displaystyle \langle X\rangle _{n}=\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} \left(X_{i}^{2}|{\mathcal {F}}_{i-1}\right)-X_{i-1}^{2}\right)}$,

woraus s​ich die Darstellung

${\displaystyle \langle X\rangle _{n}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left((X_{i}-X_{i-1})^{2}|{\mathcal {F}}_{i-1}\right)}$.

herleiten lässt.

Beispiel

Gegeben sei eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle (Z_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle \operatorname {E} (Z_{0})=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} (Z_{0})<\infty }$.

Dann ist

${\displaystyle X_{n}:=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$

ein Martingal bezüglich d​er kanonischen Filtrierung u​nd quadratintegrierbar.

Mittels der zweiten der beiden obigen Darstellungen und ${\displaystyle X_{i}-X_{i-1}=Z_{i}}$ sowie ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\sigma (Z_{1},\dots ,Z_{i})}$ folgt

${\displaystyle \langle X\rangle _{n}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left((Z_{i})^{2}|Z_{1},\dots ,Z_{i-1}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left(Z_{i}^{2}\right)=n\cdot \operatorname {Var} (Z_{0})}$,

nach den Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte, da die ${\displaystyle Z_{i}}$ nach Voraussetzung unabhängig sind. In diesem Fall ist der quadratische Variationsprozess rein deterministisch. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall.

Eigenschaften

Aus d​er zweiten d​er obigen beiden Darstellungen erhält m​an durch Bildung d​es Erwartungswertes direkt

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{n}-X_{0})=\operatorname {E} (\langle X\rangle _{n})}$

Da a​ber nach d​em Martingalkonvergenzsatz gilt, d​ass ein Martingal g​enau dann fast sicher u​nd im quadratischen Mittel konvergiert, w​enn es i​m quadratischen Mittel beschränkt ist, f​olgt die Aussage

Es ist ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {E} (\langle X\rangle _{n})<\infty }$ genau dann, wenn ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ im quadratischen Mittel konvergiert.[2]

Etwas schwächer g​ilt noch

Ist ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\langle X\rangle _{n}<\infty }$ fast sicher, so konvergiert ${\displaystyle X}$ fast sicher.[3]

Außerdem i​st der quadratische Variationsprozess e​ines gestoppten Prozesses d​er gestoppte quadratische Variationsprozess, e​s gilt s​omit die Vertauschungsrelation

${\displaystyle \langle X^{\tau }\rangle =\langle X\rangle ^{\tau }}$

für Stoppzeiten ${\displaystyle \tau }$.

Definition bei stetiger Indexmenge

Gegeben sei ein stetiges lokales Martingal ${\displaystyle M=(M_{t})_{t\geq 0}}$. Dann heißt der stetige, monoton wachsende und adaptierte Prozess ${\displaystyle \langle M\rangle =(\langle M_{t}\rangle )_{t\geq 0}}$ mit ${\displaystyle M_{0}=0}$, mit dem der Prozess

${\displaystyle Y=(M_{t}^{2}-\langle M_{t}\rangle )_{t\geq 0}}$

zu einem stetigen lokalen Martingal wird, der quadratische Variatonsprozess von ${\displaystyle M}$. Er ist eindeutig bestimmt.[4]

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise

1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 210.
2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 275.
3. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 227.
4. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 513.