Doob-Zerlegung

Der Satz über d​ie Doob-Zerlegung, benannt n​ach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​ine Aussage über d​ie Darstellung e​ines stochastischen Prozesses a​ls Martingal. Anwendung i​st beispielsweise d​ie Darstellung d​es quadratischen Variationsprozesses i​n diskreter Zeit.

Aussage

Seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Filtrierung. Jeder an ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ adaptierte und integrierbare stochastische Prozess ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist dann darstellbar als ${\displaystyle X=M+A}$, wobei ${\displaystyle M}$ ein Martingal und ${\displaystyle A}$ vorhersagbar ist, d. h., es gilt: ${\displaystyle A_{n+1}}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-messbar für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Mit der Festsetzung ${\displaystyle A_{0}=0}$ ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist ${\displaystyle A}$ genau dann monoton wachsend, wenn ${\displaystyle X}$ ein Submartingal ist.

Beweis

Definiert man für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

• ${\displaystyle M_{n}:=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}\mid {\mathcal {F}}_{k-1}]{\bigr )}}$ und
• ${\displaystyle A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}\mid {\mathcal {F}}_{k-1}]-X_{k-1}{\bigr )},}$

dann gilt ${\displaystyle X_{n}=M_{n}+A_{n}}$. Die Martingaleigenschaft von ${\displaystyle M}$ und Vorhersagbarkeit von ${\displaystyle A}$ folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung ${\displaystyle X=M'+A'}$ der Prozess ${\displaystyle M-M'=A'-A}$ sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls ${\displaystyle X}$ ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von ${\displaystyle A_{n}}$ größer oder gleich 0, also ist ${\displaystyle A}$ ein monoton wachsender Prozess.

Literatur

• J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8