Martingalkonvergenzsatz

Als Martingalkonvergenzsatz o​der Doobscher Martingalkonvergenzsatz (benannt n​ach Joseph L. Doob) werden i​n der Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmte Aussagen über d​ie Konvergenz v​on Martingalen bezeichnet. Ein Martingal i​st ein spezieller stochastischer Prozess, d​er als Formalisierung u​nd Verallgemeinerung e​ines fairen Glücksspiels angesehen werden kann. Unter Zusatzvoraussetzungen a​n die Beschränktheit d​es Prozesses lässt s​ich dessen Konvergenz folgern. Dabei unterscheiden s​ich die verschiedenen Versionen d​es Satzes hinsichtlich d​er Art d​er Beschränktheit u​nd der Art d​er Konvergenz. Wesentliches Hilfsmittel b​ei dem Beweis i​st die Aufkreuzungsungleichung. Analoge Konvergenzsätze existieren a​uch für Rückwärtsmartingale.

Voraussetzungen

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ mit einer Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}\right)}$ sei eine Folge ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ reeller Zufallsvariablen gegeben, die an die Filtrierung adaptiert ist und integrierbar ist. Das bedeutet, dass für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n}}$ messbar bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ ist und ${\displaystyle E(|X_{n}|)<\infty }$ erfüllt.

Der Prozess ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ heißt Martingal, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ die Gleichung ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n})=X_{n}}$ gilt. Gilt stattdessen ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n})\geq X_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ dann wird der Prozess ein Submartingal genannt. Im Fall ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n+1}\mid {\mathcal {F}}_{n})\leq X_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ heißt der Prozess Supermartingal. Jedes Martingal ist ein Sub- und ein Supermartingal. Ein Prozess ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist genau dann ein Supermartingal, wenn ${\displaystyle (-X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein Submartingal ist.

Versionen des Martingalkonvergenzsatzes

Fast sichere Konvergenz

Es sei ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein Submartingal und es gebe eine Konstante ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{n}^{+})\leq M}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ das heißt, der Erwartungswert der Positivteile ${\displaystyle X_{n}^{+}=\max(X_{n},0)}$ ist beschränkt. Dann existiert eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\infty }\in {\mathcal {L}}^{1}}$ mit ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}X_{\infty }}$ fast sicher.

Beweis

Für den Beweis ist das sog. Aufkreuzungslemma von entscheidender Bedeutung. Dieses sagt aus, dass für zwei reelle Zahlen ${\displaystyle b>a}$, die zwei Stoppzeiten ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ mit ${\displaystyle \sigma _{0}\equiv 0}$ und

${\displaystyle \tau _{k}:=\inf\{n\geq \sigma _{k-1}\mid X_{n}\leq a\}}$

${\displaystyle \sigma _{k}:=\inf\{n\geq \tau _{k}\mid X_{n}\geq b\}}$

und d​ie Zufallsvariable

${\displaystyle U_{n}^{a,b}:=\sup\{k\in \mathbb {N} \mid \sigma _{k}\leq n\}}$

der Anzahl d​er Aufkreuzungen d​ie Ungleichung

${\displaystyle \mathbb {E} [U_{n}^{a,b}]\leq {\frac {\mathbb {E} [(X_{n}-a)^{+}]-\mathbb {E} [(X_{0}-a)^{+}]}{b-a}}}$

erfüllt. Aus dieser kann mittels der Ungleichung ${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}-a)^{+}]\leq |a|+\mathbb {E} [X_{n}^{+}]}$ aus der vorausgesetzten gleichmäßigen Beschränktheit der ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}^{+}]}$ gefolgert werden, dass ${\displaystyle \mathbb {E} [U_{n}^{a,b}]}$ ebenfalls gleichmäßig beschränkt ist. Der monotone Limes ${\displaystyle U^{a,b}:=\lim _{n\to \infty }U_{n}^{a,b}}$ existiert jedoch, und es folgt ${\displaystyle P(U^{a,b}<\infty )=1}$. Für beliebige reelle Zahlen ${\displaystyle b>a}$ gilt aber

${\displaystyle \left\{\liminf _{n\to \infty }X_{n}<a\right\}\cap \left\{\limsup _{n\to \infty }X_{n}>b\right\}\subset \left\{U^{a,b}=\infty \right\}}$

und d​amit folgt, d​ass das Ereignis

${\displaystyle \bigcup _{a,b\in \mathbb {Q} }\left\{\liminf _{n\to \infty }X_{n}<a\right\}\cap \left\{\limsup _{n\to \infty }X_{n}>b\right\}}$

fast sicher nicht eintritt. Also wird ${\displaystyle X_{n}}$ fast sicher gegen ein ${\displaystyle X_{\infty }}$ konvergieren. Nach dem Lemma von Fatou ist einerseits ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\infty }^{+}]\leq \sup\{\mathbb {E} [X_{n}^{+}]\mid n\geq 0\}<\infty }$, ähnlich wird ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\infty }^{-}]<\infty }$ gefolgert.

Konvergenz in p-ten Mittel

Sei ${\displaystyle p>1}$ und es gebe eine Konstante ${\displaystyle M>0}$ mit ${\displaystyle \mathbb {E} (|X_{n}|^{p})\leq M}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0},}$ das heißt, die Folge ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist beschränkt in im Raum ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}.}$ Dann existiert eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\infty }\in {\mathcal {L}}^{p}}$ mit ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}X_{\infty }}$ fast sicher und in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$.

Die Aussage ist für ${\displaystyle p=1}$ im Allgemeinen falsch: Ein in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ beschränktes Martingal muss nicht unbedingt in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ konvergieren.

Konvergenz bei gleichgradiger Integrierbarkeit

Ist ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein gleichgradig integrierbares Submartingal, dann existiert eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$-messbare Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\infty }\in {\mathcal {L}}^{1}}$ mit ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}X_{\infty }}$ fast sicher und in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$.

Weiter gilt ${\displaystyle X_{n}\leq \mathbb {E} (X_{\infty }\mid {\mathcal {F}}_{n})}$ und, im Falle dass ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein Martingal ist, sogar ${\displaystyle X_{n}=\mathbb {E} (X_{\infty }\mid {\mathcal {F}}_{n})}$. Man sagt, das Martingal wird durch ${\displaystyle X_{\infty }}$ abgeschlossen.

Beispiel

Der einfache symmetrische Random Walk ${\displaystyle X_{n}:=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}}$ mit unabhängigen, identisch verteilten ${\displaystyle Z_{j}}$ und ${\displaystyle P(Z_{j}=1)=P(Z_{j}=-1)={\frac {1}{2}}}$ ist ein Martingal. Wegen ${\displaystyle |X_{n+1}-X_{n}|=1}$ ist kein Pfad konvergent.

Für ${\displaystyle a\in \mathbb {N} =\{1,2,\dotsc \}}$ ist durch ${\displaystyle \tau$ :=\inf\{n>0:X_{n}=a\}} eine Stoppzeit gegeben und das gestoppte Martingal ${\displaystyle (M_{n})}$ mit ${\displaystyle M_{n}=X_{\min(n,\tau )}}$ ist ebenfalls ein Martingal. Wegen ${\displaystyle M_{n}^{+}\leq a}$ erfüllt es die Voraussetzungen des Martingalkonvergenzsatzes für fast sichere Konvergenz. Der einzig mögliche Grenzwert ist ${\displaystyle a}$, es gilt also

${\displaystyle M_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}a}$ fast sicher.

Insbesondere folgt, dass ${\displaystyle P(\tau <\infty )=1}$ gilt.

Wegen ${\displaystyle \mathbb {E} (|M_{n}|)=\mathbb {E} (2M_{n}^{+}-M_{n})=2\mathbb {E} (M_{n}^{+})-\mathbb {E} (M_{n})\leq 2a}$ ist das Martingal ${\displaystyle (M_{n})}$ in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ beschränkt. Es konvergiert jedoch nicht in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}$ gegen ${\displaystyle a}$, denn in diesem Fall müsste auch ${\displaystyle E(M_{n})}$ gegen ${\displaystyle a>0}$ konvergieren, im Widerspruch zu ${\displaystyle \mathbb {E} (M_{n})=\mathbb {E} (M_{0})=0}$ für alle ${\displaystyle n}$.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Abschnitt 11.2.