Vorhersagbarer Prozess

Ein vorhersagbarer Prozess, a​uch vorhersehbarer Prozess, previsibler Prozess o​der prognostizierbarer Prozess genannt, i​st ein spezieller stochastischer Prozess, b​ei dem e​s möglich ist, e​inen kurzen Zeitschritt i​n die Zukunft z​u schauen. Dies bedeutet nicht, d​ass Ausgänge s​chon bekannt sind, sondern lediglich, d​ass Informationen über d​ie Verteilung gewonnen werden können. Vorhersagbare Prozesse spielen beispielsweise e​ine Rolle b​ei der Doob-Zerlegung, d​ie einen beliebigen integrierbaren stochastischen Prozess i​n diskreter Zeit i​n zwei Teilprozesse zerlegt: e​in Martingal u​nd einen vorhersagbaren Prozess. Außerdem finden s​ie Anwendung b​ei der Definition d​es diskreten stochastischen Integrals u​nd des stochastischen Integrals.

Definition

Diskreter Fall

Gegeben sei eine Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Falls ${\displaystyle X_{0}}$ konstant ist und

${\displaystyle X_{n}{\text{ ist }}{\mathcal {F}}_{n-1}{\text{-messbar }}}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus 0}$ gilt, so heißt der Prozess vorhersagbar, previsibel oder prognostizierbar.

Stetiger Fall

Im zeitstetigen Fall definiert man die vorhersagbare σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega \times [0,\infty )}$ als

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\sigma (X\,|\,X{\text{ ist adaptierter linksstetiger Prozess }})}$

(siehe adaptierter stochastischer Prozess, Linksstetiger Prozess). Ein Prozess heißt dann vorhersagbar, wenn ${\displaystyle (\omega ,t)\mapsto X_{t}(\omega )}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-messbare Abbildung ist.

Interpretation des diskreten Falls

Die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$ modelliert die Informationen, die zum Zeitpunkt n-1 zur Verfügung stehen. Betrachtet man nun die bedingte Erwartung der Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n}}$ unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Informationen aus ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$ bereits zur Verfügung stehen, so ist

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}}$.

Dies folgt daraus, dass ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$-messbar ist und demnach ${\displaystyle \sigma (X_{n})\subset {\mathcal {F}}_{n-1}}$. Hat man demnach die Informationen aus dem (n-1)-ten Schritt zur Verfügung, lässt sich schon alles über die Ausgänge im n-ten Schritt sagen.

Beispiel

• Jeder Prozess versehen mit der Filtrierung der vollständigen Information ist vorhersagbar.
• Einfache Beispiele von zeitstetigen vorhersagbaren Prozessen sind die elementaren vorhersagbaren stochastischen Prozesse.

Weblinks

• A.N. Shiryaev: Predictable random process. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• A.N. Shiryaev: Predictable sigma-algebra. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.