Lokales Martingal

Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$ , so dass eine aufsteigende Folge ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Stoppzeiten mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=\infty }$ fast sicher existiert, so dass ${\displaystyle (X_{\min\{t,T_{n}\}}\mathrm {I} _{\{T_{n}>0\}})_{t\geq 0}}$ für alle ${\displaystyle n}$ ein Martingal ist.

Es handelt s​ich also u​m eine Lokalisierung d​es Martingalbegriffs. Lokale Martingale spielen e​ine Rolle i​n der Theorie d​er stochastischen Integration, genauer entspricht d​ie Klasse d​er möglichen Integratoren d​en Semimartingalen, Summen v​on lokalen Martingalen u​nd adaptierten Prozessen v​on endlicher Variation.

Der Begriff d​es lokalen Martingals i​st eine weitreichende Verallgemeinerung d​es Martingalbegriffes, e​s gibt Beispiele v​on gleichmäßig integrierbaren lokalen Martingalen, welche k​eine Martingale sind.

Literatur

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.