Lokales Martingal

Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$ , so dass eine aufsteigende Folge ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Stoppzeiten mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=\infty }$ fast sicher existiert, so dass ${\displaystyle (X_{\min\{t,T_{n}\}}\mathrm {I} _{\{T_{n}>0\}})_{t\geq 0}}$ für alle ${\displaystyle n}$ ein Martingal ist.

Es handelt sich also um eine Lokalisierung des Martingalbegriffs. Lokale Martingale spielen eine Rolle in der Theorie der stochastischen Integration, genauer entspricht die Klasse der möglichen Integratoren den Semimartingalen, Summen von lokalen Martingalen und adaptierten Prozessen von endlicher Variation.

Der Begriff des lokalen Martingals ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Martingalbegriffes, es gibt Beispiele von gleichmäßig integrierbaren lokalen Martingalen, welche keine Martingale sind.

Literatur

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.