Gestoppter Prozess

Ein gestoppter Prozess i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​in spezieller stochastischer Prozess, d​er zu e​inem gewissen zufälligen Zeitpunkt angehalten wird. Formal geschieht d​ies durch e​ine Stoppzeit. Gestoppte Prozesse werden beispielsweise b​ei der Untersuchung v​on Spielabbruchstrategien verwendet. Dort entspricht d​as Stoppen d​es Prozesses d​em Spielabbruch. Eine theoretischere Anwendung finden gestoppte Prozesse b​ei der Lokalisierung v​on Prozessklassen, d​urch die beispielsweise d​ie Martingale u​m die lokalen Martingale erweitert werden.

Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ mit höchstens abzählbarer Indexmenge ${\displaystyle T}$ und eine Stoppzeit ${\displaystyle \tau }$ mit Werten in ${\displaystyle T}$. Dann heißt der Prozess

${\displaystyle X^{\tau }:=(X_{t\wedge \tau })_{t\in T}=(X_{\min(t,\tau )})_{t\in T}}$

der gestoppte Prozess bezüglich ${\displaystyle \tau }$. Dabei ist

${\displaystyle X_{\min(t,\tau )}\colon \omega \to X_{\min(t,\tau (\omega ))}(\omega )}$

Rein formell wird der Prozess also nicht angehalten, sondern er verändert seinen Wert nach dem Zeitpunkt ${\displaystyle \tau }$ nicht mehr.

Erläuterung

Ist ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegeben, so entsteht der gestoppte Prozess wie folgt:

• Es ist ${\displaystyle X_{0}=X_{0}^{\tau }}$, da im nullten Zeitschritt ein Anhalten des Prozesses keinen Unterschied macht.
• Im ersten Zeitschritt bleibt der Prozess auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =0\}}$ angehalten, verhält sich ansonsten aber wie der ursprüngliche Prozess, es ist also

${\displaystyle X_{1}^{\tau }=X_{1}\mathbf {1} _{\{\tau \geq 1\}}+X_{0}\mathbf {1} _{\{\tau =0\}}}$.

• Im zweiten Zeitschritt bleibt der gestoppte Prozess auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =0\}}$ weiterhin unverändert, wird aber zusätzlich noch auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =1\}}$ angehalten. Somit ist

${\displaystyle X_{2}^{\tau }=X_{2}\mathbf {1} _{\{\tau \geq 2\}}+X_{1}\mathbf {1} _{\{\tau =1\}}+X_{0}\mathbf {1} _{\{\tau =0\}}}$.

• Somit ist die n-te Zufallsvariable im gestoppten Prozess gegeben durch

${\displaystyle X_{n}^{\tau }=X_{n}\mathbf {1} _{\{\tau \geq n\}}+\sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\mathbf {1} _{\{\tau =i\}}}$.

Betrachtet man einen gestoppten Prozess nur auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =k\}}$ für ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, so verhält er sich auf dieser Menge bis zum k-ten Schritt wie der eigentliche Prozess und verändert danach seine Werte nicht mehr.

Bemerkung

Der gestoppte Prozess ${\displaystyle X^{\tau }}$ sollte nicht mit der „gesampelten“ Zufallsvariable

${\displaystyle X_{\tau }=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {1} _{\{\tau =n\}}X_{n}}$

eines stochastischen Prozesses ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht eindeutig ist.

Aussagen über gestoppte Prozesse

Zu d​en wichtigsten Aussagen über gestoppte Prozesse gehören d​as Optional Stopping Theorem u​nd das Optional Sampling Theorem. Sie untersuchen, w​ie sich gestoppte (Sub-/Super-)Martingale verhalten u​nd welche Aussagen m​an über d​ie Erwartungswerte d​er gestoppten Prozesse treffen kann.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.