Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ (nach Wolfgang Pauli) sind spezielle komplexe hermitesche 2×2-Matrizen. Zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit ${\displaystyle \sigma _{0}}$ bezeichnet wird, bilden sie sowohl eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen als auch eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2×2-Matrizen.

Sie wurden v​on Wolfgang Pauli 1927 z​ur Beschreibung d​es Spins eingeführt,[1] w​aren in d​er Mathematik a​ber auch s​chon vorher bekannt.

Definition

Die Pauli-Matrizen lauten ursprünglich:

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit. Die Matrizen wurden ursprünglich in der Quantenmechanik eingeführt, um die grundlegenden Kommutationsregeln der Komponenten des Spin-Operators zu erfüllen (siehe unten). Häufig wird, besonders in der relativistischen Quantenmechanik, noch die Einheitsmatrix als nullte Paulimatrix dazugenommen:

${\displaystyle \sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Multiplikation

Für d​ie Multiplikation e​iner Pauli-Matrix m​it einer anderen Pauli-Matrix ergibt s​ich aus d​en Rechenregeln d​er Matrixmultiplikation folgende Tafel:

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle \sigma _{0}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$
${\displaystyle \sigma _{0}}$	${\displaystyle \sigma _{0}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$
${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{3}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \,\sigma _{2}}$
${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle \sigma _{2}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \,\sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{0}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{1}}$
${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \sigma _{3}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{2}}$	${\displaystyle -\mathrm {i} \,\sigma _{1}}$	${\displaystyle \sigma _{0}}$

Das Produkt ${\displaystyle \sigma _{i}\cdot \sigma _{j}}$ befindet sich in der mit ${\displaystyle \sigma _{i}}$ gekennzeichneten Zeile und der mit ${\displaystyle \sigma _{j}}$ gekennzeichneten Spalte. Das Beispiel ${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{1}=-\mathrm {i} \,\sigma _{3}}$ zeigt, dass die Pauli-Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung keine Gruppe bilden.

Die von ihnen erzeugte Gruppe hat den Namen ${\displaystyle G_{16}^{10}}$.[2] Sie enthält das Element ${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\mathrm {i} \,\sigma _{0}=\left({\begin{smallmatrix}\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{smallmatrix}}\right)}$, welches im Zentrum liegt, also mit allen Elementen kommutiert. Die Gruppe ${\displaystyle G_{16}^{10}}$ besteht somit aus den 16 Elementen ${\displaystyle \mathrm {i} ^{j}\,\sigma _{k}\;\;(j,k=0,1,2,3).}$ Sie enthält die Quaternionengruppe Q₈ als Normalteiler (siehe Die Quaternionen als Unterring von C⁴ und Liste kleiner Gruppen), woraus sich ${\displaystyle G_{16}^{10}\cong Q_{8}\rtimes \{\sigma _{0},\sigma _{1}\}}$ ergibt. Der Zykel-Graph ist .[3]

Dekomposition von Matrizen

Gegeben sei eine komplexe 2×2-Matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ mit den Elementen ${\displaystyle \left\{a_{ij}\ |\ i,j\in \left\{0,1\right\},a_{ij}\in \mathbb {C} \right\}}$. Dann lassen sich komplexe Zahlen ${\displaystyle \left\{z_{i}\ |\ i\in \left\{0,1,2,3\right\},z_{i}\in \mathbb {C} \right\}}$ finden, für die gilt:

${\displaystyle \mathbf {A} }$	${\displaystyle ={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{0}+z_{3}&z_{1}-\mathrm {i} \,z_{2}\\z_{1}+\mathrm {i} \,z_{2}&z_{0}-z_{3}\\\end{pmatrix}}}$
	${\displaystyle =z_{0}\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle +\,z_{1}\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle +\,z_{2}\,{\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle +\,z_{3}\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$
	${\displaystyle =z_{0}\;\;\sigma _{0}}$	${\displaystyle +\,z_{1}\;\;\sigma _{1}}$	${\displaystyle +\,z_{2}\;\;\sigma _{2}}$	${\displaystyle +\,z_{3}\;\;\sigma _{3}\;.}$

Es gelten d​ie Umrechnungen:

${\displaystyle a_{00}=z_{0}+z_{3},\quad a_{01}=z_{1}-\mathrm {i} \,z_{2},\quad a_{10}=z_{1}+\mathrm {i} \,z_{2},\quad a_{11}=z_{0}-z_{3},}$

bzw.:

${\displaystyle z_{0}={\frac {a_{00}+a_{11}}{2}},\quad z_{1}={\frac {a_{01}+a_{10}}{2}},\quad z_{2}=\mathrm {i} {\frac {a_{01}-a_{10}}{2}},\quad z_{3}={\frac {a_{00}-a_{11}}{2}}.}$

Eine komplexe 2×2-Matrix kann demnach als Linearkombination der ${\displaystyle \sigma _{i}}$ geschrieben werden, und diese Darstellung ist eindeutig. Die Pauli-Matrizen bilden also eine Basis des ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraums (und Matrizenrings) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$, und diese Basis ist eine orthogonale unter dem Frobenius-Skalarprodukt.

Die Umrechnungen definieren e​inen Ringisomorphismus

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\to \mathbb {C} ^{4}}$

mit der üblichen Vektoraddition, der üblichen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Skalarmultiplikation und der Vektor-Multiplikation

${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\star (y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}):=(}$	${\displaystyle x_{0}y_{0}+\,x_{1}y_{1}+\,x_{2}y_{2}+\,x_{3}y_{3},}$
	${\displaystyle x_{0}y_{1}+\,x_{1}y_{0}+\mathrm {i} x_{2}y_{3}-\mathrm {i} x_{3}y_{2},}$
	${\displaystyle x_{0}y_{2}-\mathrm {i} x_{1}y_{3}+\,x_{2}y_{0}+\mathrm {i} x_{3}y_{1},}$
	${\displaystyle x_{0}y_{3}+\mathrm {i} x_{1}y_{2}-\mathrm {i} x_{2}y_{1}+\,x_{3}y_{0}\,)}$

in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}.}$ Zwei Vektoren sind genau dann miteinander vertauschbar, wenn

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}={\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=0\\&x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}={\begin{vmatrix}x_{3}&x_{1}\\y_{3}&y_{1}\end{vmatrix}}=0\\&x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}=0,\end{aligned}}}$

wenn also die Vektorteile ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ und ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -linear voneinander abhängen.

Die inverse Matrix von ${\displaystyle \mathbf {A} =z_{0}\,\sigma _{0}+z_{1}\,\sigma _{1}+z_{2}\,\sigma _{2}+z_{3}\,\sigma _{3}}$ berechnet sich im Fall von ${\displaystyle z_{0}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}\neq 0}$ hieraus zu

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {z_{0}\,\sigma _{0}-z_{1}\,\sigma _{1}-z_{2}\,\sigma _{2}-z_{3}\,\sigma _{3}}{z_{0}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}}}.}$

Hermitesche 2×2-Matrizen

Die Teilmenge der hermiteschen 2×2-Matrizen, also der Matrizen ${\displaystyle \mathbf {A} }$ mit

${\displaystyle \mathbf {A} ={\overline {\mathbf {A} }}^{\mathrm {T} },}$

ist ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Untervektorraum, für den die Pauli-Matrizen ebenfalls eine Basis bilden, die Koeffizienten ${\displaystyle z_{i}}$ sind aber reell. Anders gesagt: es gibt bei hermiteschen 2×2-Matrizen vier (reelle) freie Parameter, da ${\displaystyle a_{00}}$ und ${\displaystyle a_{11}}$ reell sind und ${\displaystyle a_{01}={\overline {a_{10}}}}$.

Das Produkt zweier hermitescher Matrizen i​st hermitesch, w​enn sie kommutieren. Der Untervektorraum i​st also kein (Unter)ring.

Die Quaternionen als Unterring von C⁴

(Unter)ring ist aber ein anderer Untervektorraum von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$, der sich durch Koeffizienten ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle z_{1}\in \mathrm {i} \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle z_{2}\in \mathrm {i} \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle z_{3}\in \mathrm {i} \mathbb {R} }$ von ${\displaystyle (\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ aufspannen lässt. Er ist ebenfalls mit der ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Skalarmultiplikation verträglich und zusätzlich hinsichtlich der Multiplikation ${\displaystyle \star }$ abgeschlossen. Dieser ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Untervektorraum ist isomorph zu den Quaternionen ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Als Basis für reelle Koeffizienten kann man die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix nehmen, also die Menge ${\displaystyle \{\sigma _{0},\mathrm {i} \sigma _{1},\mathrm {i} \sigma _{2},\mathrm {i} \sigma _{3}\}}$, mit der isomorphen Zuordnung:

${\displaystyle 1\mapsto \sigma _{0},\quad i_{\mathbb {H} }\mapsto -\mathrm {i} \sigma _{1},\quad j_{\mathbb {H} }\mapsto -\mathrm {i} \sigma _{2},\quad k_{\mathbb {H} }\mapsto -\mathrm {i} \sigma _{3},}$

mit ${\displaystyle i_{\mathbb {H} },j_{\mathbb {H} },k_{\mathbb {H} }}$ als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q₈ schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:[4]

${\displaystyle 1\mapsto \sigma _{0},\quad i_{\mathbb {H} }\mapsto +\mathrm {i} \sigma _{3},\quad j_{\mathbb {H} }\mapsto +\mathrm {i} \sigma _{2},\quad k_{\mathbb {H} }\mapsto +\mathrm {i} \sigma _{1}.}$

Anwendung

In der Quantenphysik, in der den physikalischen Observablen auf mathematischer Seite hermitesche Operatoren bzw. Matrizen entsprechen, wird der Drehimpulsoperator ${\displaystyle {\hat {S}}_{i},\ i\in \{1,2,3\}}$ von Spin-½-Zuständen, beispielsweise bei Elektronen, durch die Paulimatrizen dargestellt:

${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\doteq {\tfrac {\hbar }{2}}\sigma _{i}}$,

wobei ${\displaystyle \doteq }$ „wird dargestellt durch“ bedeutet.

In d​er relativistischen Quantenmechanik, w​o man entsprechend d​em relativistischen Vierervektor Formalismus v​ier Raum-Zeit bzw. Energie-Impuls Variablen hat, t​ritt die Einheitsmatrix gleichberechtigt z​u den d​rei Pauli-Matrizen (als „nullte“ Pauli-Matrix) u​nd es w​ird mit i​hrer Hilfe d​ie Dirac-Gleichung m​it den Dirac-Matrizen aufgebaut.

Direkt tauchen d​ie Pauli-Matrizen i​n der Pauli-Gleichung z​ur quantenmechanischen Beschreibung v​on Teilchen m​it Spin i​m Magnetfeld auf, d​ie sich a​us der nichtrelativistischen Reduktion d​er Diracgleichung ergibt, u​nd in d​er Beschreibung v​on Majorana-Fermionen (Majorana-Gleichung).

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können n​eben der Darstellung a​ls Matrizen m​it Hilfe d​er Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für d​ie Linearkombination entweder d​ie Standard-Basisvektoren o​der die Eigenvektoren d​er Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix	Matrix	Linearkombination (Standard-Basisvektoren)	Linearkombination (Eigenvektoren)
${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |0\rangle \langle 1|+|1\rangle \langle 0|}$	${\displaystyle |+\rangle \langle +|\,-\,|-\rangle \langle -|}$
${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \mathrm {i} \left(|1\rangle \langle 0|-|0\rangle \langle 1|\right)}$	${\displaystyle |\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|-|\phi ^{-}\rangle \langle \phi ^{-}|}$
${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |0\rangle \langle 0|-|1\rangle \langle 1|}$	${\displaystyle |0\rangle \langle 0|-|1\rangle \langle 1|}$

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert, wobei die verwendeten Kets durch Vektoren des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ dargestellt werden, was durch „${\displaystyle \doteq }$“ gekennzeichnet ist:

${\displaystyle |0\rangle =|s_{z}+\rangle }$	${\displaystyle \doteq {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |1\rangle =|s_{z}-\rangle }$	${\displaystyle \doteq {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle |+\rangle }$	${\displaystyle \doteq {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |-\rangle }$	${\displaystyle \doteq {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle |\phi ^{+}\rangle }$	${\displaystyle \doteq {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |\phi ^{-}\rangle }$	${\displaystyle \doteq {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-\mathrm {i} \end{pmatrix}}.}$

Eigenschaften

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und unitär. Daraus folgt mit dem durch ${\displaystyle \sigma _{0}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ definierten vierten Basiselement

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=\sigma _{0}.}$

Die Determinanten u​nd Spuren d​er Pauli-Matrizen sind

${\displaystyle {\begin{matrix}\det \sigma _{i}&=&-1&\\[1ex]\operatorname {tr} \sigma _{i}&=&0&\end{matrix}}}$   für ${\displaystyle i=1,2,3.}$

Aus Obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix ${\displaystyle \mathbf {\sigma } _{i}}$ die Eigenwerte +1 und −1 besitzt.

Des Weiteren:

${\displaystyle \sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}=\mathrm {i} \,\sigma _{0}.}$

Die Pauli-Matrizen erfüllen d​ie algebraische Relation

${\displaystyle \sigma _{i}\,\sigma _{j}=\delta _{ij}\sigma _{0}+\mathrm {i} \,\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\;\sigma _{k}}$   für ${\displaystyle i,j=1,2,3\,}$

(${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ist das Levi-Civita-Symbol), also insbesondere bis auf einen Faktor 2 dieselben Relationen wie die Drehimpulsalgebra

${\displaystyle [\sigma _{i}\,,\sigma _{j}]=\sigma _{i}\,\sigma _{j}-\sigma _{j}\,\sigma _{i}=2\,\mathrm {i} \,\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\;\sigma _{k}}$   für ${\displaystyle i,j=1,2,3.}$

und die Clifford- oder Dirac-Algebra ${\displaystyle \mathrm {Cl} (0,3,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \{\sigma _{i}\,,\sigma _{j}\}=\sigma _{i}\,\sigma _{j}+\sigma _{j}\,\sigma _{i}=2\,\delta _{ij}\sigma _{0}}$   für ${\displaystyle i,j=1,2,3.}$

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall ${\displaystyle l=1/2}$ von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren ${\displaystyle \Lambda _{m}}$ eines Drehimpuls-${\displaystyle l}$-Multipletts mit Quantenzahlen ${\displaystyle m}$ in Maßsystemen mit ${\displaystyle \hbar =1}$ folgendermaßen wirken:

${\displaystyle L_{3}\Lambda _{m}=m\Lambda _{m}\,,\ m\in \{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,}$

${\displaystyle L_{+}\Lambda _{m}={\sqrt {(l-m)(l+m+1)}}\,\Lambda _{m+1}\,,}$

${\displaystyle L_{-}\Lambda _{m}={\sqrt {(l+m)(l-m+1)}}\,\Lambda _{m-1}\,.}$

Dabei ist ${\displaystyle 2l+1}$ eine natürliche Zahl und für ${\displaystyle m}$ treten die ${\displaystyle 2l+1}$ verschiedenen Quantenzahlen ${\displaystyle m=-l,-l+1,\dots ,l}$ auf. Für ${\displaystyle l=1/2}$ wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren ${\displaystyle \Lambda _{1/2}}$ und ${\displaystyle \Lambda _{-1/2}}$ demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

${\displaystyle L_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,,L_{+}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,L_{-}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,.}$

Mit ${\displaystyle L_{1}={\frac {1}{2}}(L_{+}+L_{-})}$ und ${\displaystyle L_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(L_{+}-L_{-})}$ ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen

Die lineare Hülle der mit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ multiplizierten[5] Pauli-Matrizen ${\displaystyle \mathrm {i} \,\sigma _{1},\,\mathrm {i} \,\sigma _{2},\,\mathrm {i} \,\sigma _{3}}$ ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra. Aufgrund der mit ${\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,=n_{1}\sigma _{1}+n_{2}\sigma _{2}+n_{3}\sigma _{3}}$ für jeden Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {n}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ geltenden Identität[6]

${\displaystyle \exp \left(-\mathrm {i} \,{\tfrac {\alpha }{2}}{\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{0}\,\cos {\tfrac {\alpha }{2}}-\mathrm {i} \,({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\,\sin {\tfrac {\alpha }{2}}}$

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe ${\displaystyle SU(2)}$.

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen ${\displaystyle S_{i}={\tfrac {\hbar }{2}}\sigma _{i}}$ die Operatoren für die Spinkomponenten eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) dar. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. ${\displaystyle \alpha }$ ist dabei der Drehwinkel, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ die Drehachse. Für ${\displaystyle \alpha =2\pi }$ ergibt sich ${\displaystyle \exp {\bigl (}\!\!-\mathrm {i} \,\pi \;{\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-\sigma _{0}}$; d. h. der Zustandsvektor eines Spin-1/2-Systems wird durch Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\pi }$ in sein Negatives und erst durch Drehung um den Winkel ${\displaystyle 4\pi }$ wieder in sich selbst übergeführt („Spinordrehungen“).

Eigenvektoren

Die Matrix ${\displaystyle \sigma _{3}}$ hat die Eigenvektoren

${\displaystyle \chi _{31}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \chi _{32}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

wie m​an leicht erkennen kann:

${\displaystyle \sigma _{3}\chi _{31}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}\chi _{32}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}=-1{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

entsprechend den Eigenwerten ${\displaystyle \pm 1}$. Die Eigenvektoren von ${\displaystyle \sigma _{1}}$ sind

${\displaystyle \chi _{11}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\quad \chi _{12}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}:}$

${\displaystyle \sigma _{1}\chi _{11}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\quad \sigma _{1}\chi _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}=-1{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$

und die Eigenvektoren von ${\displaystyle \sigma _{2}}$

${\displaystyle \chi _{21}={\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}},\quad \chi _{22}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}:}$

${\displaystyle \sigma _{2}\chi _{21}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}\chi _{22}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} \\-1\end{pmatrix}}=-1{\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}.}$

Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen

In d​er Mathematik können m​it Hilfe d​es Tensorprodukts (Kronecker-Produkts) v​on Pauli-Matrizen (mit Einheitsmatrix) d​ie Darstellungen d​er höheren Clifford-Algebren über d​en reellen Zahlen aufgebaut werden.

Pauli-Matrizen können zur Darstellung von Hamilton-Operatoren und zur Näherung der Exponentialfunktion solcher Operatoren verwendet werden. Sind ${\displaystyle \sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

${\displaystyle p:=\sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}\quad$ ;\quad \mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}\in \{0,1,2,3\}\quad ;\quad n\in \mathbb {N} }

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind ${\displaystyle p_{1}}$ und ${\displaystyle p_{2}}$ zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

• ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ sind ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ Matrizen
• ${\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}=1\qquad }$ (Die ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ Einheitsmatrix)
• ${\displaystyle p_{1}p_{2}=p_{2}p_{1}}$ oder ${\displaystyle p_{1}p_{2}=-p_{2}p_{1}\qquad }$ (Kommutativität)
• ${\displaystyle \operatorname {Spur} \sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}=2^{n}\delta _{\mu _{1},0}\delta _{\mu _{2},0}...\delta _{\mu _{n},0}}$
• Die Kronecker-Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängig und bilden eine Basis im Vektorraum der ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$-Matrizen. Hamilton-Operatoren ${\displaystyle H}$ vieler physikalischer Modelle lassen sich aufgrund der Basiseigenschaft als Summe solcher Matrizen ausdrücken (Linearkombination). Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.

${\displaystyle H=\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k}\quad }$ mit ${\displaystyle \quad N\in \mathbb {N} ,h_{k}\in \mathbb {R} ,p_{k}}$ ist Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.

Beispiele für derartige Modelle s​ind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell u​nd Anderson-Modell.

Das Kronecker-Produkt v​on Pauli-Matrizen t​ritt bei d​er Beschreibung v​on Spin-1/2-Systemen auf, d​ie aus mehreren Teilsystemen aufgebaut sind. Der Zusammenhang i​st dadurch gegeben, d​ass das Tensorprodukt zweier Operatoren i​n der zugehörigen Matrixdarstellung gerade d​urch das Kronecker-Produkt d​er Matrizen gegeben i​st (siehe Kronecker-Produkt#Zusammenhang m​it Tensorprodukten).

Näherung der Exponentialfunktion des Hamilton-Operators

Häufig interessiert m​an sich für d​ie Exponentialfunktion d​es Hamilton-Operators.

${\displaystyle \exp\{-\beta H\}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-\beta )^{l}}{l!}}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k}{\biggr )}^{l}}$   mit   ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$

Aufgrund der Kommutativität kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen. Ist ${\displaystyle \pi }$ eine Permutation, so ist:

${\displaystyle p_{\pi _{1}}p_{\pi _{2}}...p_{\pi _{n}}=ap_{1}p_{2}...p_{n}}$   mit   ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,a\in \{1,-1\}}$

Deshalb existieren rationale Zahlen ${\displaystyle E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}}$ mit:

${\displaystyle \exp\{-\beta H\}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{\infty }...\sum _{k_{N}=0}^{\infty }E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}(-\beta h_{1})^{k_{1}}(-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{N}^{k_{N}}}$

Diese rationalen Zahlen sind, v​on Ausnahmen abgesehen, schwer z​u berechnen.

Eine e​rste Näherung ergibt sich, i​ndem man n​ur Summanden berücksichtigt, d​ie aus kommutierenden Matrizen bestehen.

${\displaystyle E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}=0}$ falls ein Paar ${\displaystyle 1\leq a,b\leq N}$ mit ${\displaystyle p_{a}p_{b}=-p_{b}p_{a}}$ und ${\displaystyle k_{a},k_{b}>0}$ existiert

${\displaystyle E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}={\frac {1}{k_{1}!}}{\frac {1}{k_{2}!}}...{\frac {1}{k_{N}!}}}$ sonst

Die Näherung lässt s​ich weiter verbessern, i​ndem man Paare, Tripel, … v​on nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.

Siehe auch

• Gell-Mann-Matrizen

Literatur

• Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pauli Matrices. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Wolfgang Pauli: Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. In: Zeitschrift für Physik, Band 43, 1927, S. 601
2. Nummerierung nach The Small Groups library. zitiert nach R. J. Mathar: Zykel-Graphen Plots endlicher Gruppen bis zur Ordnung 36. 2014.
3. R. J. Mathar: Zykel-Graphen Plots endlicher Gruppen bis zur Ordnung 36. 2014.
4. Mikio Nakahara: Geometry, topology, and physics. CRC Press, 2003, S. xxii ff. (Google Books).
5. Durch die Multiplikation mit ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$ entstehen aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche Matrizen. Eine Darstellung mit Hilfe von Hermiteschen Operatoren und Matrizen wird von Physikern bevorzugt, weil in der Quantenmechanik messbare Größen (sog. Observablen) stets durch Hermitesche Operatoren beschrieben werden.
6. Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0, S. 1142