Kronecker-Produkt

Das Kronecker-Produkt i​st in d​er Mathematik e​in spezielles Produkt zweier Matrizen beliebiger Größe. Das Ergebnis d​es Kronecker-Produkts i​st eine große Matrix, d​ie durch Betrachtung a​ller möglichen Produkte v​on Einträgen d​er beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Es i​st nach d​em deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt.

Definition

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle m\times n}$-Matrix und ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle p\times r}$-Matrix, so ist das Kronecker-Produkt ${\displaystyle C=A\otimes B}$ definiert als

${\displaystyle C=(a_{ij}\cdot B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}}$

Explizit:

${\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1r}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1r}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2r}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pr}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pr}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1r}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1r}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2r}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pr}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pr}\end{pmatrix}}_{(mp\times nr)}}$.

Das heißt, jedes Element der Matrix ${\displaystyle A}$ wird mit der Matrix ${\displaystyle B}$ multipliziert. Das Ergebnis ist also eine Matrix mit ${\displaystyle m\cdot p}$ Zeilen und ${\displaystyle n\cdot r}$ Spalten.

Beispiel

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\\\\3\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&4\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\\\\5\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}&6\cdot {\begin{pmatrix}7&8\\9&0\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&\!\!\!&14&16\\9&0&\!\!\!&18&0\\[0.6em]21&24&\!\!\!&28&32\\27&0&\!\!\!&36&0\\[0.6em]35&40&\!\!\!&42&48\\45&0&\!\!\!&54&0\end{pmatrix}}}$

Eigenschaften

Rechenregeln

Das Kronecker-Produkt i​st nicht kommutativ, d​as heißt, i​m Allgemeinen gilt

${\displaystyle A\otimes B\neq B\otimes A}$.

Es gibt jedoch Permutationsmatrizen ${\displaystyle P,Q}$ so dass

${\displaystyle A\otimes B=P(B\otimes A)Q}$

gilt. Sind dabei ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ quadratisch, so kann ${\displaystyle P=Q^{T}}$ gewählt werden.

Das Kronecker-Produkt i​st assoziativ. Das heißt, e​s gilt

${\displaystyle A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C}$.

Symmetrien

Für d​ie Transposition g​ilt

${\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}}$.

Für d​ie konjugierte Matrix gilt

${\displaystyle {\overline {A\otimes B}}={\overline {A}}\otimes {\overline {B}}}$.

Für d​ie adjungierte Matrix gilt

${\displaystyle (A\otimes B)^{*}=A^{*}\otimes B^{*}}$.

Bezüge zu anderen Operationen

Das Kronecker-Produkt i​st bilinear m​it der Matrizenaddition, d​as heißt, e​s gilt

${\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C}$,

${\displaystyle (B+C)\otimes A=B\otimes A+C\otimes A}$

und

${\displaystyle \lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)}$

Sind die Matrizenprodukte ${\displaystyle AC}$ und ${\displaystyle BD}$ definiert, so gilt[1]

${\displaystyle AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D)}$.

Kenngrößen

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ quadratische Matrizen, so gilt für die Spur

${\displaystyle \mathrm {Spur} (A\otimes B)=\mathrm {Spur} (A)\cdot \mathrm {Spur} (B)}$.

Für d​en Rang g​ilt

${\displaystyle \mathrm {Rang} (A\otimes B)=\mathrm {Rang} (A)\cdot \mathrm {Rang} (B)}$.

Ist ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle n\times n}$ und ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle m\times m}$ Matrix, so gilt für die Determinante

${\displaystyle \det(A\otimes B)={\det }^{m}(A)\,{\det }^{n}(B)}$.

Sind ${\displaystyle (\lambda _{i})_{i=1,\dotsc ,n}\,}$ die Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle (\mu _{j})_{j=1,\dotsc ,m}\,}$ die Eigenwerte von ${\displaystyle B}$, dann gilt:

${\displaystyle (\lambda _{i}\,\mu _{j})_{i=1,\dotsc ,n \atop j=1,\dotsc ,m}}$ sind die Eigenwerte von ${\displaystyle A\otimes B}$.

Für d​ie Spektralnorm g​ilt demnach

${\displaystyle \|A\otimes B\|_{2}=\|A\|_{2}\cdot \|B\|_{2}}$.

Inverse

Sind ${\displaystyle A,B}$ invertierbar, so ist auch ${\displaystyle (A\otimes B)}$ invertierbar mit Inverser

${\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}}$.

Für d​ie Moore-Penrose-Inverse g​ilt außerdem

${\displaystyle (A\otimes B)^{+}=A^{+}\otimes B^{+}}$.

Allgemeiner gilt: Sind ${\displaystyle A^{-}}$ und ${\displaystyle B^{-}}$ verallgemeinerte Inversen von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, so ist ${\displaystyle A^{-}\otimes B^{-}}$ eine verallgemeinerte Inverse von ${\displaystyle A\otimes B}$.

Matrixgleichung

Es seien die Matrizen ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (k\times \ell ),\,B\in \mathrm {Mat} (m\times n),\,C\in \mathrm {Mat} (k\times n)}$ gegeben und eine Matrix ${\displaystyle X\in \operatorname {Mat} (\ell \times m)}$ gesucht, so dass ${\displaystyle AXB=C\,}$ gilt. Dann gilt folgende Äquivalenz:

${\displaystyle AXB=C\iff (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (C)}$.

Hierbei steht ${\displaystyle \operatorname {vec} }$ für die spaltenweise Vektorisierung einer Matrix zu einem Spaltenvektor: Sind ${\displaystyle {\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{m}}$ die Spalten der Matrix ${\displaystyle X\in \operatorname {Mat} (\ell \times m)}$, so ist

${\displaystyle \operatorname {vec} (X)={\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}}$

ein Spaltenvektor der Länge ${\displaystyle \ell \cdot m}$. Analog ist ${\displaystyle \operatorname {vec} (C)}$ ein Spaltenvektor der Länge ${\displaystyle k\cdot n}$.

Hat man den Vektor ${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$ ermittelt, so ergibt sich daraus unmittelbar die zugehörige isomorphe Matrix ${\displaystyle X\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)}$.

Beweis der Äquivalenz

Es ist ${\displaystyle AXB=C\iff AX\left({\vec {b}}_{1},\dotsc ,{\vec {b}}_{n}\right)=\left({\vec {c}}_{1},\dotsc ,{\vec {c}}_{n}\right)\iff AX{\vec {b_{i}}}={\vec {c_{i}}}\iff {\begin{pmatrix}AX{\vec {b}}_{1}\\\vdots \\AX{\vec {b}}_{n}\end{pmatrix}}=\operatorname {vec} (C)}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A({\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{m}){\vec {b}}_{1}\\\vdots \\A({\vec {x}}_{1},\dotsc ,{\vec {x}}_{m}){\vec {b}}_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A(b_{11}{\vec {x}}_{1}+\dotsc +b_{m1}{\vec {x}}_{m})\\\vdots \\A(b_{1n}{\vec {x}}_{1}+\dotsc +b_{mn}{\vec {x}}_{m})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A\,b_{11}&\cdots &A\,b_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A\,b_{1n}&\cdots &A\,b_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {x}}_{1}\\\vdots \\{\vec {x}}_{m}\end{pmatrix}}=(B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)}$.

Gleichungssystem mit Matrixkoeffizienten

Für ${\displaystyle i=1,...,r\,}$ und ${\displaystyle j=1,...,s\,}$ seien die Matrizen ${\displaystyle A_{ij}\in \mathrm {Mat} (k\times \ell ),\,B_{ij}\in \mathrm {Mat} (m\times n),\,C_{i}\in \mathrm {Mat} (k\times n)}$ gegeben.

Gesucht sind die Matrizen ${\displaystyle X_{i}\in \mathrm {Mat} (\ell \times m)}$, welche das Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}X_{1}B_{11}+...+A_{1s}X_{s}B_{1s}&=&C_{1}\\&\vdots &\\A_{r1}X_{1}B_{r1}+...+A_{rs}X_{s}B_{rs}&=&C_{r}\\\end{bmatrix}}}$

lösen. Diese Aufgabenstellung i​st äquivalent z​um Lösen d​es Gleichungssystems

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{11}^{T}\otimes A_{11}&\cdots &B_{1s}^{T}\otimes A_{1s}\\\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}^{T}\otimes A_{r1}&\cdots &B_{rs}^{T}\otimes A_{rs}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,X_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,X_{s}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {vec} \,C_{1}\\\vdots \\\operatorname {vec} \,C_{r}\end{pmatrix}}}$

Weitere Anwendungen

Das Kronecker-Produkt w​ird beispielsweise i​n verallgemeinerten linearen Regressionsmodellen verwendet, u​m eine Kovarianzmatrix v​on korrelierten Störgrößen z​u konstruieren (z. B. d​ie Kovarianzmatrix b​ei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen, s​iehe Kovarianzmatrix#Kovarianzmatrix b​ei scheinbar unverbundenen Regressionsgleichungen). Man erhält h​ier etwa e​ine blockdiagonale Zellnermatrix.

Zudem braucht m​an das Kronecker-Produkt i​n der Quantenmechanik, u​m Systeme m​it mehreren Teilchen, d​ie ein beidseitig beschränktes Spektrum besitzen, z​u beschreiben. Zustände mehrerer Teilchen s​ind dann Kroneckerprodukte d​er Einteilchenzustände. Im Falle e​ines unbeschränkten Spektrums bleibt n​ur die algebraische Struktur e​ines Kronecker-Produktes erhalten, d​a dann k​eine Darstellung d​urch Matrizen existiert.

Zusammenhang mit Tensorprodukten

Gegeben seien zwei lineare Abbildungen ${\displaystyle \varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow W_{1}}$ und ${\displaystyle \varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow W_{2}}$ zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Dann gibt es immer genau eine lineare Abbildung

${\displaystyle \varphi _{1}\otimes \varphi _{2}\colon V_{1}\otimes V_{2}\longrightarrow W_{1}\otimes W_{2}}$

zwischen d​en Tensorprodukten mit

${\displaystyle [\varphi _{1}\otimes \varphi _{2}](v_{1}\otimes v_{2})=\varphi _{1}(v_{1})\otimes \varphi _{2}(v_{2})}$.

Wenn wir auf den Vektorräumen ${\displaystyle V_{1},W_{1},V_{2}}$ und ${\displaystyle W_{2}}$ je eine Basis auswählen, so können wir der Abbildung ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ihre Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}$ zuordnen. Es sei ${\displaystyle B}$ die Darstellungsmatrix von ${\displaystyle \varphi _{2}}$.

Das Kronecker-Produkt ${\displaystyle A\otimes B}$ der Darstellungsmatrizen entspricht nun genau der Darstellungsmatrix der tensorierten Abbildung ${\displaystyle \varphi _{1}\otimes \varphi _{2}}$, wenn man auf ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ und ${\displaystyle W_{1}\otimes W_{2}}$ die Basis zugrunde legt, welche sich aus den lexikographisch angeordneten Paaren von Basisvektoren der am Tensorprodukt beteiligten Vektorräume ergibt: Sind ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n})}$ die ausgewählte Basis von ${\displaystyle V_{1}}$ und ${\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots ,f_{p})}$ die Basis von ${\displaystyle V_{2}}$, so nehmen wir

${\displaystyle (e_{1}\otimes f_{1},e_{1}\otimes f_{2},\ldots ,e_{1}\otimes f_{p},e_{2}\otimes f_{1},\ldots ,e_{n}\otimes f_{p-1},e_{n}\otimes f_{p})}$

als Basis für das Tensorprodukt ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$. Analog für ${\displaystyle W_{1}\otimes W_{2}}$.

Historisches

Das Kronecker-Produkt i​st nach Leopold Kronecker benannt, obwohl Georg Zehfuss d​ie Definition d​es Produktes s​chon 1858 leistete, weshalb d​as Kronecker-Produkt manchmal a​uch Zehfuss-Produkt genannt wird.[2]

Weblinks

• MathWorld: Matrix Direct Product
• Earliest Uses: Kronecker, Zehfuss or Direct Product of matrices.
• Charles F. Van Loan: The ubiquitous Kronecker product. Journal of Computational and Applied Mathematics 123 (2000) S. 85–100 (online PDF-Datei)

Quellen

1. Willi Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss. Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S. 16
2. Walter Strobl, "Georg Zehfuss: Sein Leben und seine Werke", online