Orthogonalsystem

In d​er Linearen Algebra u​nd der Funktionalanalysis, Teilgebieten d​er Mathematik, i​st ein Orthogonalsystem e​ine Menge v​on Vektoren e​ines Vektorraums m​it Skalarprodukt (Prähilbertraum), d​ie paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind d​ie Vektoren zusätzlich n​och normiert (d. h., s​ie haben d​ie Norm 1), s​o spricht m​an von e​inem Orthonormalsystem.

Definition

Eine Teilmenge ${\displaystyle M}$ eines Prähilbertraums ${\displaystyle V}$ heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

1. Je zwei verschiedene Vektoren aus ${\displaystyle M}$ sind zueinander orthogonal: ${\displaystyle \forall v,w\in M:v\neq w\Rightarrow \langle v,w\rangle =0}$
2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet ${\displaystyle \langle v,w\rangle }$ das Skalarprodukt des Raums ${\displaystyle V}$, im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Gilt zusätzlich

Jeder Vektor aus ${\displaystyle M}$ ist normiert, d. h. ${\displaystyle \forall v\in M:\langle v,v\rangle =1}$,

so nennt man ${\displaystyle M}$ ein Orthonormalsystem.

Eigenschaften

• Orthogonalsysteme sind linear unabhängig.
• In separablen Hilberträumen (insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilberträumen) lässt sich mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus jedem linear unabhängigen System ein Orthogonalsystem (bzw. Orthonormalsystem) bzw. aus jeder (Schauder-)Basis eine orthogonale (bzw. orthonormale) Basis konstruieren.
• Für ein Orthonormalsystem ${\displaystyle M}$ gilt die Besselsche Ungleichung

  ${\displaystyle \sum _{e\in M}|\langle x,\,e\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}\quad \forall ~x\in V.}$

• Für jeden Vektor ${\displaystyle x\in V}$ ist die Menge der ${\displaystyle e\in M}$, für die ${\displaystyle \langle x,e\rangle \neq 0}$ gilt, höchstens abzählbar.

Beispiele

• Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
• In ${\displaystyle L^{2}([0,2\pi ])}$ bilden die Funktionen ${\displaystyle \cos(kx)}$ ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
• In ${\displaystyle \ell ^{2}}$ mit dem Skalarprodukt ${\displaystyle (a,b)\mapsto \sum a_{n}b_{n}}$ bilden die Folgen ${\displaystyle (0,\cdots ,0,1,0,\cdots )}$ ein Orthogonalsystem
• In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{5}([0,1])}$, versehen mit dem ${\displaystyle L^{2}}$-Skalarprodukt ${\displaystyle (a,b)\mapsto \int _{0}^{1}ab}$, bilden die Funktionen

${\displaystyle x\mapsto 1}$ und ${\displaystyle x\mapsto x-{\frac {1}{2}}}$

ein Orthogonalsystem.

Siehe auch

• Vollständiges Orthonormalsystem

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)