Heisenberg-Modell

Das Heisenberg-Modell (nach Werner Heisenberg) i​n der quantenmechanischen Formulierung i​st ein i​n der theoretischen Physik v​iel benutztes mathematisches Modell z​ur Beschreibung v​on Ferromagnetismus (sowie Antiferromagnetismus u​nd Ferrimagnetismus) i​n Festkörpern. Ziel d​er Betrachtung i​st es, experimentell beobachtete Effekte w​ie die spontane Magnetisierung u​nd die kritischen Exponenten a​n den Phasenübergängen z​u modellieren.

Das Modell i​st zur qualitativen Beschreibung v​on Ferromagnetismus i​n Isolatoren geeignet, versagt a​ber bei d​en meisten Metallen (hier i​st das Hubbard-Modell besser geeignet).

Formulierung

1928 haben Werner Heisenberg[1] und Paul Dirac[2] erkannt, dass Ferromagnetismus in einem Festkörper durch einen effektiven Hamiltonoperator ${\displaystyle H_{\text{Heis}}}$ beschrieben werden kann, der die quantenmechanischen Ortsfunktionen nicht enthält, da er lediglich aus wechselwirkenden lokalisierten Elektronenspins auf dem Kristallgitter aufgebaut ist. Die Wechselwirkung ist dabei (zunächst) reduziert auf benachbarte Spins (Nächste-Nachbar-Wechselwirkung). Im Gegensatz zum klassischen Heisenberg-Modell werden die Spins durch Vektoroperatoren ausgedrückt und gehorchen den Regeln der Quantenmechanik:

${\displaystyle H_{\text{Heis}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {S_{i}}}\cdot {\vec {S_{j}}}\qquad {\text{mit }}i,j\,\mathrm {n{\ddot {a}}chste\ Nachbarn} }$

Dabei

• sind ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$ und ${\displaystyle {\vec {S}}_{j}}$ die quantenmechanischen Spinoperatoren zu gegebener Spinquantenzahl ${\displaystyle s}$ (${\displaystyle s\in \{1/2,\,1,\,3/2,\,2,\,\ldots \}}$)
• beziehen sich die Indizes ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ auf die Gitterpositionen, wobei das Gitter eine Kette (eindimensionales Heisenberg-Modell), ein zweidimensionales Gitter (z. B. ein hexagonales Gitter) oder eine dreidimensionale Anordnung (z. B. ein kubisches Gitter) sein kann. Der Spin hingegen ist beim Heisenberg-Modell immer dreidimensional, weshalb es auch als Spezialfall des n-Vektor-Modells mit ${\displaystyle n=3}$ bezeichnet wird.
• wird die Austauschwechselwirkung zwischen den lokalisierten Spins durch die Coulomb-Abstoßung und das Pauli-Prinzip verursacht und bei Beschränkung auf Nächste-Nachbar-Wechselwirkung und Isotropie (s. u.) mit einer einzigen Kopplungskonstante ${\displaystyle J}$ ausgedrückt, der Austauschenergie.

Das Modell k​ann durch e​ine Verallgemeinerung d​er Heitler-London-Näherung für d​ie Bildung zweiatomiger Moleküle begründet werden (siehe das einschlägige Unterkapitel i​n Magnetismus). Für eindimensionale Systeme k​ann es e​xakt gelöst werden (s. u.); i​n zwei u​nd drei Dimensionen g​ibt es dagegen n​ur genäherte Lösungen, z. B. m​it Quanten-Monte-Carlo-Methoden.

Erläuterungen

Der Ferromagnetismus von Isolatoren wird bewirkt von lokalisierten magnetischen Momenten, die einer unvollständig gefüllten Elektronenschale (3d, 4d, 4f oder 5f) zuzuschreiben sind. Diesen lokalisierten magnetischen Momenten ${\displaystyle {\vec {m}}_{i}}$ ist ein Drehimpuls ${\displaystyle {\vec {J}}_{i}}$ zugeordnet, der mit dem jeweiligen Spin ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}}$ ausgedrückt werden kann:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m_{i}}}&=\mu _{\mathrm {B} }\,g_{J}\,{\vec {J_{i}}}\\&=\mu _{\mathrm {B} }\,g_{J}\,{\frac {\vec {S_{i}}}{g_{J}-1}}\end{aligned}}}$

mit

• dem Bohrschen Magneton ${\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }}$
• dem Landé-Faktor ${\displaystyle g_{J}}$
• dem Spinvektor ${\displaystyle {\vec {S_{i}}}}$, der gegeben ist über die Spin-1/2-Operatoren.

Die Austauschwechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten kann so durch die zugehörigen Spins ausgedrückt werden. Die Austauschwechselwirkung simuliert also die Coulombabstoßung und das Pauliprinzip. Die Kopplungskonstanten ${\displaystyle J}$ zwischen den lokalisierten Spins werden daher auch Austauschintegrale genannt. Man nimmt an, dass die Austauschintegrale nur für benachbarte Spins merklich von null verschieden sind. Insgesamt erhält man so also einen effektiven Hamiltonoperator, der darauf ausgelegt ist, lediglich den Ferromagnetismus bei Isolatoren zu erklären:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{Heis}}&=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {S_{i}}}\cdot {\vec {S_{j}}}\qquad {\text{mit }}i,j\mathrm {\ n{\ddot {a}}chste\ Nachbarn} \\&=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)\\&=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}\right)+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]\end{aligned}}}$

Verallgemeinerungen

Das Heisenberg-Modell k​ann verallgemeinert werden, i​ndem man d​ie Kopplungskonstante richtungsabhängig m​acht (d. h. i​ndem man v​on isotropen z​u anisotropen Systemen übergeht).

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{verallg. Heis}}&=-\sum _{\langle i,j\rangle }\left(J^{x}S_{i}^{x}S_{j}^{x}+J^{y}S_{i}^{y}S_{j}^{y}+J^{z}S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)\qquad {\text{mit }}i,j\;\mathrm {n{\ddot {a}}chste} {\text{ Nachbarn}}\end{aligned}}}$

Ein Spezialfall des verallgemeinerten Heisenberg-Modells ist das XXZ-Modell, das seinen Namen daher hat, dass die Kopplungskonstante in zwei Richtungen übereinstimmt (d. h. ${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J}$) und in z-Richtung davon abweicht (${\displaystyle J_{z}=\Delta }$):

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{XXZ}}&=-\sum _{\langle i,j\rangle }\left[J\left(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}\right)+\Delta S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]\qquad {\text{mit }}i,j\;\mathrm {n{\ddot {a}}chste} {\text{ Nachbarn}}\\&=-\sum _{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {J}{2}}\left(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}\right)+\Delta S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]\end{aligned}}}$

Das Heisenberg-Modell und seine Spezialfälle werden oft im Zusammenhang mit einem angelegten Magnetfeld ${\displaystyle h=g_{J}\mu _{\mathrm {B} }B_{0}}$ in z-Richtung betrachtet. Der Hamiltonian lautet dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{verallg. Heis,h}}&=-\sum _{\langle i,j\rangle }\left(J^{x}S_{i}^{x}S_{j}^{x}+J^{y}S_{i}^{y}S_{j}^{y}+J^{z}S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)-h\sum _{i}S_{i}^{z}\end{aligned}}}$

Eine weitere Verallgemeinerung beinhaltet die Einbeziehung von Kopplungen nicht nur zwischen nächsten Nachbarn sowie von Inhomogenitäten, ${\displaystyle J\rightarrow J_{ij}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{verallg. Heis, inhom.}}&=-\sum _{\langle i,j\rangle }\left(J_{ij}^{x}S_{i}^{x}S_{j}^{x}+J_{ij}^{y}S_{i}^{y}S_{j}^{y}+J_{ij}^{z}S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)\quad {\text{mit }}i,j\;\mathrm {Gitterpl{\ddot {a}}tze} \end{aligned}}}$

Die Übergänge z​um XY-Modell u​nd zum Ising-Modell lassen s​ich am besten i​m n-Vektor-Modell darstellen.

Modell im k-Raum

Zur Analyse des Modells und zur Betrachtung der Anregungen ist es sinnvoll, das Modell im k-Raum zu betrachten. Die Transformation (diskrete Fouriertransformation) für die Spinoperatoren ${\displaystyle a\in \{x,y,z,+,-\}}$ lautet:

${\displaystyle S^{a}({\vec {k}})=\sum _{i}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}_{i}}S_{i}^{a}}$

Das verallgemeinerte Heisenbergmodell im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit ${\displaystyle (J_{ij}^{x}=J_{ij}^{y}=J_{ij}^{z})}$ mit ${\displaystyle J_{ij}=J_{ji}}$ und ${\displaystyle J_{ii}=0}$ lässt sich dann schreiben als

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{heis,k}}&=-{\frac {1}{N}}\sum _{\vec {k}}J({\vec {k}})\left(S^{+}({\vec {k}})S^{-}(-{\vec {k}})+S^{z}({\vec {k}})S^{z}(-{\vec {k}})\right)-hS^{z}(0)\end{aligned}},}$

wobei auch die Austauschintegrale von der Kreiswellenzahl ${\displaystyle {\vec {k}}}$ abhängen:

${\displaystyle J({\vec {k}})={\frac {1}{N}}\sum _{ij}J_{ij}e^{i{\vec {k}}\cdot ({\vec {R}}_{i}-{\vec {R}}_{j})}}$

Grundzustand

In diesem Abschnitt w​ird der Grundzustand d​es verallgemeinerte Heisenberg-Modells i​m Magnetfeld o​hne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Der Grundzustand i​st der Eigenzustand d​es Systems m​it der geringsten Energie. Dieser i​st stark abhängig v​on den Vorzeichen d​er Kopplungskonstanten:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{alle}}\quad J_{ij}>0:&\qquad {\text{Ferromagnet}}\\{\text{alle}}\quad J_{ij}<0:&\qquad {\text{Anti-Ferromagnet/Ferrimagnet}}\end{aligned}}}$

Ferromagnetischer Grundzustand

Für ${\displaystyle J>0}$ ist es für die Spins energetisch günstiger, sich in dieselbe Richtung auszurichten, und man spricht von einem ferromagnetischen Grundzustand ${\displaystyle |F\rangle }$. Unter Drehung aller Spinvektoren ändert sich das Heisenberg-Modell nicht, es ist also invariant unter einer Rotation. Aufgrund der Rotationsinvarianz ist keine Richtung ausgezeichnet, daher wird die Ausrichtung in z-Richtung angenommen. Die Richtung im Festkörper wird durch Anisotropien oder durch ein schwaches angelegtes Magnetfeld bestimmt. Spezialisiert man noch

${\displaystyle J_{0}=\sum _{i}J_{ij}=\sum _{j}J_{ij},}$

dann k​ann die Energie d​es Grundzustands angegeben werden als:

${\displaystyle {\begin{aligned}H|F\rangle =&E_{0}|F\rangle \\{\text{mit}}\qquad &E_{0}=-NJ_{0}\hbar ^{2}S^{2}-NhS\end{aligned}}}$

Dabei wurde der Eigenwert des ${\displaystyle S_{i}^{z}}$-Operators als ${\displaystyle S_{i}^{z}|F\rangle =\hbar S|F\rangle }$ benutzt. Für das Spin-1/2-Heisenberg-Modell ist ${\displaystyle S=1/2}$.

Ferri- bzw. antiferromagnetischer Grundzustand

Für ${\displaystyle J<0}$ ist es energetisch günstiger, wenn benachbarte Spins in unterschiedliche Richtungen zeigen. Der Grundzustand ist daher stark vom unterliegenden Kristallgitter abhängig, er kann u. a. antiferromagnetisch oder ferrimagnetisch sein. Für spezielle Kristallgitter kann es zu magnetischer Frustration kommen, siehe geometrische Frustration und Spin-Glas.

Magnonen und Spinwellen

In diesem Abschnitt werden d​ie Anregungen a​us dem ferromagnetischen Grundzustand d​es verallgemeinerten Heisenberg-Modells i​m Magnetfeld o​hne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Die Anregungszustände werden d​em Quasiteilchen Magnon zugeordnet. Es handelt s​ich dabei u​m kollektive Anregungen d​es gesamten Kristallgitters, d​ie demnach a​uch als Spinwellen bezeichnet werden.

Die einmalige Anwendung des ${\displaystyle S^{-}({\vec {k}})}$-Operators auf den ferromagnetischen Grundzustand gibt einen angeregten Eigenzustand des Heisenberg-Modells und wird (normierter) Ein-Magnonenzustand genannt:

${\displaystyle |{\vec {k}}\rangle ={\frac {1}{\hbar {\sqrt {2SN}}}}S^{-}({\vec {k}})|F\rangle }$

Die zugehörige Energie d​es Zustands i​st gegeben als:

${\displaystyle E({\vec {k}})=E_{0}+\hbar \omega ({\vec {k}})\qquad {\text{mit}}\qquad \hbar \omega ({\vec {k}})=\hbar h+2S\hbar ^{2}(J_{0}-J({\vec {k}}))}$

Die Anregungsenergie ${\displaystyle \hbar \omega ({\vec {k}})}$ wird dem Magnon-Quasiteilchen zugeschrieben. Betrachtet man den Erwartungswert des ${\displaystyle S_{i}^{z}}$-Operators auf diesen Zustand, so erhält man:

${\displaystyle \langle {\vec {k}}|S_{i}^{z}|{\vec {k}}\rangle =\hbar \left(S-{\frac {1}{N}}\right)}$

Dabei ist die linke Seite der Gleichung nicht mehr vom Platz i abhängig. Anschaulich bedeutet dies, dass die Anregung aus dem Grundzustand (Ein-Magnonenzustand) nicht durch das einfache Umklappen eines Spins auf einem Gitterplatz erzeugt wird, sondern dass der Ein-Magnonenzustand über das Gitter gleichmäßig verteilt ist. Daher wird der Zustand ${\displaystyle |{\vec {k}}\rangle }$ als kollektive Anregung angesehen und als Spinwelle bezeichnet.

1D-Heisenberg-Modell

Im eindimensionalen Heisenberg-Modell s​ind die Spins aufgereiht a​uf einer Kette. Bei periodischen Randbedingungen i​st die Kette z​u einem Ring geschlossen. Die Eigenzustände u​nd Eigenenergien für d​as eindimensionale Heisenberg-Modell wurden 1931 v​on Hans Bethe[3] m​it dem Bethe-Ansatz e​xakt bestimmt.

Eigenvektoren und Eigenzustände

Da der ${\displaystyle S_{z}^{\text{tot}}}$-Operator mit dem Hamiltonoperator kommutiert, zerfällt der ganze Hilbertraum in verschiedene Unterräume, die einzeln diagonalisiert werden können.

${\displaystyle [S_{z}^{\text{tot}},H]=\sum _{i=1}^{N}[S_{i}^{z},H]=0}$

Die verschiedenen Unterräume können durch ihre ${\displaystyle S_{z}^{\text{tot}}=-N\dots N}$ Quantenzahlen beschrieben werden. Das heißt, dass die Eigenvektoren Superpositionen aus Basiszuständen mit derselben ${\displaystyle S_{z}^{\text{tot}}}$ Quantenzahl sind. Im Bethe-Ansatz werden diese Zustände mittels der umgeklappten Zustände vom ferromagnetischen Grundzustand klassifiziert. Zum Beispiel wird der Zustand mit zwei umgeklappten Spins (also ${\displaystyle S_{z}^{\text{tot}}=N-2}$) an den Gitterplätzen ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$ angegeben als:

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\rangle =|\uparrow \uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{1}}\uparrow \dots \uparrow \underbrace {\downarrow } _{n_{2}}\uparrow \dots \uparrow \rangle }$

Die Eigenvektoren in einem Unterraum mit einer ${\displaystyle S_{z}}$ Quantenzahl ${\displaystyle S_{z}=N-r}$ sind Superpositionen aus allen möglichen Zuständen ${\displaystyle |n_{1},n_{2},\dots ,n_{N-r}\rangle$ :}

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{n1<n2<\dots <n_{r}}^{N}a(n_{1},n_{2},\dots ,n_{r})|n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}\rangle }$

Die Koeffizienten s​ind ebene Wellen u​nd durch d​en Bethe-Ansatz gegeben:

${\displaystyle a(n_{1},\dots ,n_{r})=\sum _{P\in S_{r}}\exp \left(i\sum _{j=1}^{r}k_{P_{j}}n_{j}+i\sum _{i<j}\theta _{P_{i}P_{j}}\right)}$

Die Parameter können über d​ie Gleichungen d​es Bethe-Ansatzes bestimmt werden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}2\cot {\frac {\theta _{ij}}{2}}&=\cot {\frac {k_{i}}{2}}-\cot {\frac {k_{j}}{2}}&\qquad {\text{mit}}\quad &i,j=1,\dots ,r\\Nk_{i}&=2\pi \lambda _{i}+\sum _{j\neq i}\theta _{ij}&&\lambda _{i}={1,\dots ,N-1}\end{alignedat}}}$

Die Eigenvektoren sind gegeben durch alle Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})}$, die die Gleichungen des Bethe-Ansatzes erfüllen. Eine Klassifikation der Eigenvektoren ist also über die Bethe-Quantenzahlen möglich. Die Bestimmung aller Eigenvektoren ist allerdings nicht trivial. Die zugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:

${\displaystyle (E-E_{0})=J\sum _{j=1}^{r}(1-\cos k_{j})}$

Jordan-Wigner-Transformation

Das 1D-Heisenberg-Modell kann bei periodischen Randbedingungen mittels einer Jordan-Wigner-Transformation auf spinlose Fermionen auf einer Kette mit lediglich nächster Nachbarwechselwirkung abgebildet werden. Der Hamiltonian ${\displaystyle H_{\text{Heis}}}$ des 1D-Heisenberg Modells kann demnach geschrieben werden als:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{Heis}}&=-J\sum _{n=1}^{N}{\vec {S}}_{n}\cdot {\vec {S}}_{n+1}=-J\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}(S_{n}^{+}S_{n+1}^{-}+S_{n}^{-}S_{n+1}^{+})+S_{n}^{z}S_{n+1}^{z}\right]\\&=-J\sum _{i=1}^{N}\left[\left(c_{i}^{\dagger }c_{i+1}+{\text{h.c}}\right)+\left(c_{i}^{\dagger }c_{i}-{\frac {1}{2}}\right)\left(c_{i+1}^{\dagger }c_{i+1}-{\frac {1}{2}}\right)\right]\\&=H_{0}+H_{J}\end{aligned}}}$

Die ${\displaystyle c_{i},c_{i}^{\dagger }}$ sind Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für spinlose Fermionen.

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Band 7 – Vielteilchen-Theorie. Springer Verlag.

Weblinks

• B. Nachtergaele: Bibliografie zum Heisenbergmodell.

Quellen

1. W. Heisenberg: Zur Theorie des Ferromagnetismus. In: Zeitschrift für Physik. Band 49, Nr. 9, 1928, S. 619–636, doi:10.1007/BF01328601.
2. Paul Dirac: On the Theory of Quantum Mechanics. In: Proc. Roy. Soc. London A. Band 112, 1926, S. 661–677.
3. H. Bethe: Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette. (On the theory of metals. I. Eigenvalues and eigenfunctions of the linear atom chain), Zeitschrift für Physik A, Vol. 71, S. 205–226 (1931). doi:10.1007/BF01341708.