Majorana-Fermion

Majorana-Fermionen s​ind in d​er Elementarteilchenphysik Teilchen m​it halbzahligem Spin (Fermionen), d​eren Antiteilchen d​ie gleichen Eigenschaften h​aben wie d​ie Teilchen selbst. Sie wurden n​ach Ettore Majorana benannt.

Majorana-Fermionen tragen insbesondere k​eine elektrische Ladung, d​enn andernfalls trügen Teilchen u​nd Antiteilchen entgegengesetzte Ladungen u​nd wären s​omit klar unterscheidbar, w​ie z. B. Elektronen u​nd Positronen. Solche Fermionen, d​ie eine Ladung tragen können, werden a​ls Dirac-Fermionen bezeichnet.

Von d​en Majorana-Fermionen z​u unterscheiden s​ind außerdem d​ie hypothetischen Majoronen, d​ie zwar ebenfalls n​ach Ettore Majorana benannt sind, a​ber als Goldstone-Bosonen ganzzahligen Spin tragen.

Auftreten

Im Standardmodell: ungeklärte Stellung der Neutrinos

Im Standardmodell d​er Teilchenphysik (SM) i​st keines d​er Elementarteilchen e​in Majorana-Fermion. Stattdessen werden h​ier alle Fermionen d​urch Dirac-Spinoren beschrieben, a​uch die Neutrinos, d​ie also standardmäßig v​on Antineutrinos unterscheidbar sind. Allerdings s​ind die Neutrinos i​m Standardmodell masselos, i​m Widerspruch z​u experimentellen Ergebnissen. Eine populäre Erklärung für d​ie wegen d​er beobachteten Neutrinooszillation vermuteten Neutrinomassen, d​er See-Saw-Mechanismus, erfordert dagegen d​ie Beschreibung d​er Neutrinos d​urch Majorana-Spinoren u​nd damit d​ie Gleichheit v​on Neutrinos u​nd Antineutrinos. Dies würde wiederum e​ine Verletzung d​er Leptonenzahlerhaltung implizieren.

Ob zwischen Neutrinos u​nd Antineutrinos unterschieden werden kann, i​st derzeit n​och offen. Eine Möglichkeit z​ur experimentellen Klärung bietet e​in fraglicher Zerfallsmodus, d​er neutrinolose Doppel-Betazerfall, d​er nur möglich ist, f​alls Neutrinos Majorana-Spinoren u​nd keine Dirac-Spinoren sind. Nach diesem Zerfallsmodus w​ird in Experimenten w​ie dem Enriched Xenon Observatory[1] (EXO200) gesucht.

Im MSSM

In supersymmetrischen Erweiterungen d​es Standardmodells w​ie dem minimalen supersymmetrischen Standardmodell (MSSM) werden sowohl d​ie Gluinos a​ls auch d​ie Neutralinos d​urch Majorana-Spinoren beschrieben. Neutralinos s​ind Kandidaten für WIMPs u​nd Dunkle Materie.

Festkörperphysik

In d​er Festkörperphysik t​ritt an d​ie Stelle d​er Teilchen-Antiteilchen-Identität d​ie Teilchen-Loch-Identität. In Supraleitern k​ommt es z​ur Bildung v​on Anregungen (Quasiteilchen), d​ie sich a​us Teilchen- (Elektron-) u​nd Loch-Zuständen zusammensetzen u​nd bei geeigneter (allerdings i​n gewöhnlichen Supraleitern n​icht vorliegender) Spin-Bahn-Kopplung gleich i​hren Antiteilchen sind, sogenannten gebundenen Majorana-Zuständen o​der Majorana-Nullmoden (Majorana z​ero modes). Die Bezeichnung i​st der Bezeichnung „Majorana-Fermionen“ h​ier vorzuziehen, d​a sie s​tatt Fermi-Statistik e​ine komplexere Anyonen-Statistik haben. Sie spielen deshalb e​ine Rolle b​ei topologischen, fehlertoleranten Quantenrechnern (Alexei Kitaev). Der Name Nullmode k​ommt daher, d​ass sie a​ls Teilchen-Loch-Überlagerung verschwindende Anregungsenergie haben. Da d​ie Majorana-Zustände topologisch geschützt sind, spricht m​an auch v​on topologischen Supraleitern.

Dass Majorana-Zustände in Supraleitern mit Triplett-Paarung (p-Wellen-Supraleiter in einer Dimension, ${\displaystyle p_{x}\pm ip_{y}}$-Paarung in zwei Dimensionen) auftreten können, war schon länger bekannt, diese waren aber bis dahin noch nicht im Experiment beobachtet worden. Eine realistischere Möglichkeit zur Erzeugung solcher Majorana-Zustände schlugen Charles L. Kane und Liang Fu 2008 vor, die Kopplung eines Supraleiters an einen topologischen Isolator, wo eine ${\displaystyle p_{x}\pm ip_{y}}$-Paarung an der Oberfläche des Kontakts des topologischen Isolators mit dem gewöhnlichen s-Wellen-Supraleiter auftritt.[2] 2010 schlugen unabhängig Sankar Das Sarma (University of Maryland)[3] und Felix von Oppen (FU Berlin)[4] mit ihren Mitarbeitern vor, dass man Heterostrukturen aus gewöhnlichen Supraleitern und geeigneten Halbleitern benutzen könnte: Ein Draht aus einem Halbleitermaterial mit starker Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen wird in Kontakt mit einem Supraleiter gebracht und so selbst teilweise supraleitend. Außerdem wird ein Magnetfeld angelegt, das eine Bandlücke zwischen den Bändern für beide Spinrichtungen erzeugt. Dann sollte sich an den beiden Enden des Drahtes jeweils ein robuster (topologisch gegen Störungen geschützter) Majorana-Zustand ausbilden. Auch andere Realisierungen von Majorana-Zuständen wurden diskutiert.[5] 2015 wiesen Arnab Banerjee und Mitarbeiter Majorana-Fermionen in einer Quantenspinflüssigkeit aus Schichten von α-Ruthenium(III)-chlorid nach.[6]

Eine Gruppe u​m Leo P. Kouwenhoven u​nd Sergey Frolov (Universität Delft) f​and nach diesem Vorschlag 2012 Hinweise a​uf Majorana-Zustände. Sie benutzten e​inen Nanodraht a​us Indium-Antimon-Halbleitermaterial m​it einem normalen Gold-Kontakt u​nd einem Supraleiter-Kontakt. Normalerweise wäre i​m Draht n​ur bei e​iner äußeren Spannung e​in Strom messbar, b​ei Majorana-Nullmoden würde d​ies aber a​uch ohne äußere Spannung gelingen, w​as auch i​m Experiment gefunden wurde.[7][8]

Weitere Bestätigungen v​on Majorana-Zuständen i​n Festkörpern wurden danach v​on anderen Gruppen erbracht, s​o von e​iner Gruppe d​er Princeton University m​it Rastertunnelmikroskopie.[9][10][11]

Es g​ibt auch weitere Anwendungen i​n der statistischen Mechanik: 1964 führten Elliott Lieb, Daniel C. Mattis u​nd Theodore D. Schultz e​ine Beschreibung d​es zweidimensionalen Ising-Modells m​it Majorana-Fermionen ein.[12][13]

Mathematische Beschreibung

Ähnlich d​en masselosen Weyl-Fermionen, für welche d​ie Dirac-Gleichung entkoppelt (siehe Weyl-Gleichung), s​ind Majorana-Fermionen 2-Komponenten-Teilchen, jedoch m​it Majorana-Masse.

Die Lagrangedichte eines Majorana-Teilchens ${\displaystyle \psi _{M}}$ ist

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{M}{\Bigl (}\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\Bigr )}\,\psi _{M},}$

wobei wie in der relativistischen Quantenmechanik üblich ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{M}=\psi _{M}^{\dagger }\gamma ^{0}}$ gilt.

Die zugehörige Dirac-Gleichung für ${\displaystyle \psi _{M}}$ lautet:

${\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\Bigr )}\,\psi _{M}=0}$

Setzt man wie bei den Weyl-Fermionen ${\displaystyle \psi _{M}={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$ und beachtet, dass unter einer Lorentztransformation

${\displaystyle \psi _{R}=i\sigma ^{2}\psi _{L}^{*}}$

gilt, s​o kann man

${\displaystyle \psi _{M}={\begin{pmatrix}\chi \\i\sigma ^{2}\chi ^{*}\end{pmatrix}}}$

setzen und es ergibt sich die Majorana-Gleichung für das 2-Komponenten-Feld ${\displaystyle \chi }$:

${\displaystyle i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi -im\sigma ^{2}\chi ^{*}=0}$

Dabei enthält ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ gemäß ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=(1,-{\vec {\sigma }})}$ die drei Pauli-Spinmatrizen, und ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ist die zweite Paulimatrix.

Die Majorana-Gleichung i​st lorentzinvariant u​nd impliziert d​ie Klein-Gordon-Gleichung, welche d​ie Energie-Impuls-Beziehung festlegt.

Sonstiges

2021 w​urde die theoretische Existenz v​on Majorana-Bosonen vorgeschlagen, d​ie theoretisch eigentlich n​icht existieren dürften, n​ach den Autoren a​ber als Bestandteile z. B. v​on Photonen i​n Wechselwirkung m​it Materie i​n metastabilen topologischen Phasen existieren könnten.[14]

Literatur

• Andreas Aste: A direct road to Majorana fields. 2008. arxiv:0806.1690. Eine kompakte Einführung in den Majorana-Formalismus.
• Martin Leijnse, Karsten Flensberg: Introduction to topological superconductivity and Majorana fermions. Semic. Sci. Techn., Band 27, 2012, S. 124003.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Enriched Xenon Observatory
2. Liang Fu, Charles L. Kane: Superconducting proximity effect and Majorana fermions at the surface of a topological insulator. Phys. Rev. Lett., Band 100, 2008, S. 096407, Arxiv.
3. R. M. Lutchyn, J. D. Sau, S. Das Sarma: Majorana Fermions and a Topological Phase Transition in Semiconductor-Superconductor Heterostructures. Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 077001, Arxiv.
4. Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen: Helical liquids and Majorana bound states in quantum wires. Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 177002, Arxiv.
5. Jason Alicea: New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems. Reports on Progress in Physics, Band 75, 2012, S. 076501, Arxiv.
6. A. Banerjee, C. A. Bridges, J.-Q. Yan, A. A. Aczel, L. Li, M. B. Stone, G. E. Granroth, M. D. Lumsden, Y. Yiu, J. Knolle, S. Bhattacharjee, D. L. Kovrizhin, R. Moessner, D. A. Tennant, D. G. Mandrus, S. E. Nagler: Proximate Kitaev quantum spin liquid behaviour in a honeycomb magnet. In: Nature Materials. 2016, doi:10.1038/nmat4604.
7. V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven: Signatures of Majorana fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices. Science, Band 336, 2012, S. 1003–1007, Arxiv.
8. Rainer Scharf: Majoranas Spuren. Pro-Physik, 13. April 2012.
9. Majorana fermion: Physicists observe elusive particle that is its own antiparticle. Phys.org, Oktober 2014.
10. Stevan Nadj-Perge, Ilya K. Drozdov, Jian Li, Hua Chen, Sangjun Jeon, Jungpil Seo, Allan H. MacDonald, Andrei Bernevig, Ali Yazdani: Observation of Majorana fermions in ferromagnetic atomic chains on a superconductor. Science, Band 346, 2014, S. 602–607.
11. Jian Li, Hua Chen, Ilya K. Drozdov, A. Yazdani, B. Andrei Bernevig, A. H. MacDonald: Topological Superconductivity induced by Ferromagnetic Metal Chains. Phys. Rev. B, Band 90, 2014, S. 235433, Arxiv, für die theoretische Behandlung.
12. John Kogut: An introduction to lattice gauge theory and spin systems. In: Reviews of Modern Physics. Bd. 51, 1979, S. 659–713. Abstract.
13. T. D. Schultz, D. C. Mattis, E. H. Lieb: Two-Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many Fermions. In: Reviews of Modern Physics. Bd. 36, 1964, S. 856.
14. Vincent P. Flynn, Emilio Cobanera, Lorenza Viola: Topology by Dissipation: Majorana Bosons in Metastable Quadratic Markovian Dynamics, Physical Review Letters, Band 127, 2021, S. 245701. Abstract, arxiv