Liste kleiner Gruppen

Die folgende Liste enthält e​ine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste k​ann benutzt werden, u​m herauszufinden, z​u welchen bekannten endlichen Gruppen e​ine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt m​an die Ordnung v​on G u​nd vergleicht s​ie mit d​en unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, o​b G abelsch (kommutativ) ist, s​o kann m​an einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht m​an die Ordnung einzelner Elemente v​on G m​it den Elementen d​er aufgelisteten Gruppen, wodurch m​an G b​is auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Glossar

In d​er nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ist die zyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ (die auch als ${\displaystyle C_{n}}$ oder ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ geschrieben wird).
• ${\displaystyle D_{n}}$ ist die Diedergruppe der Ordnung ${\displaystyle 2n}$.
• ${\displaystyle S_{n}}$ ist die symmetrische Gruppe vom Grad ${\displaystyle n}$, mit n! Permutationen von ${\displaystyle n}$ Elementen.
• ${\displaystyle A_{n}}$ ist die alternierende Gruppe vom Grad ${\displaystyle n}$, mit ${\displaystyle n!/2}$ Permutationen von ${\displaystyle n}$ Elementen für ${\displaystyle n\geq 2}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$ ist die dizyklische Gruppe der Ordnung ${\displaystyle 4n}$.
• ${\displaystyle V_{4}}$ ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung ${\displaystyle 4}$.
• ${\displaystyle Q_{4n}}$ ist die Quaternionengruppe der Ordnung ${\displaystyle 4n}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$.

Die Notation ${\displaystyle G\times H}$ wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung ${\displaystyle n<60}$ sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$, mit ${\displaystyle n}$ aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung ${\displaystyle 16}$ ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}}$ haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$ bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ gibt (nicht die Nebenklasse von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$).

Zu j​eder Ordnung w​ird zunächst d​ie zyklische Gruppe angegeben, d​ann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen u​nd dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 20

Ordnung	Gruppe	Echte Untergruppen[1]	Eigenschaften	Zykel-Graph
1	${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}\cong S_{1}\cong A_{2}}$   (triviale Gruppe)	-	abelsch, zyklisch
2	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\cong S_{2}\cong D_{1}}$   (Gruppe Z2)	-	abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe
3	${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}\cong A_{3}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
4	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\cong \mathrm {Dic} _{1}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle V_{4}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}\cong D_{2}}$   (Kleinsche Vierergruppe)	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe
5	${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
6	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle S_{3}\cong D_{3}}$   (Symmetrische Gruppe)	${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	kleinste nichtabelsche Gruppe
7	${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
8	${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$	${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle D_{2}}$	abelsch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{3}\cong D_{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 7\cdot D_{2}}$	abelsch
	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 2\cdot D_{2}}$, ${\displaystyle 5\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	${\displaystyle Q_{8}\cong \mathrm {Dic} _{2}}$   (Quaternionengruppe)	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch; die kleinste hamiltonsche Gruppe
9	${\displaystyle \mathbb {Z} _{9}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{2}}$	${\displaystyle 4\cdot \mathbb {Z} _{3}}$	abelsch
10	${\displaystyle \mathbb {Z} _{10}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{5}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle D_{5}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle 5\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
11	${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
12	${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}\cong \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{3}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}\times \mathbb {Z} _{3}\cong D_{2}\times \mathbb {Z} _{3}}$	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{6}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle D_{2}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch
	${\displaystyle D_{6}\cong D_{3}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$, ${\displaystyle 2\cdot D_{3}}$, ${\displaystyle 3\cdot D_{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	${\displaystyle A_{4}}$  (Gruppe A4)	${\displaystyle D_{2}}$, ${\displaystyle 4\cdot \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
	${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}}$ (hier Verknüpfungstafel)	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
13	${\displaystyle \mathbb {Z} _{13}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
14	${\displaystyle \mathbb {Z} _{14}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{7}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle D_{7}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$, ${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
15	${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{5}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$	abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“)
16	${\displaystyle \mathbb {Z} _{16}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{4}}$	${\displaystyle 15\cdot \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 35\cdot D_{2}}$, ${\displaystyle 15\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}}$	abelsch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}^{2}}$	${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 4\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 7\cdot D_{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{3}}$, ${\displaystyle 6\cdot \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle D_{2}}$, ${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{8}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{2}}$	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 6\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle D_{2}}$,${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$	abelsch
	${\displaystyle D_{8}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$, ${\displaystyle 2\cdot D_{4}}$, ${\displaystyle 4\cdot D_{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 9\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	${\displaystyle D_{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle 4\cdot D_{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{2}^{3}}$, ${\displaystyle 13\cdot \mathbb {Z} _{2}^{2}}$, ${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 11\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	${\displaystyle Q_{16}\cong \mathrm {Dic_{4}} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$, ${\displaystyle 2\cdot Q_{8}}$, ${\displaystyle 5\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	${\displaystyle Q_{8}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 4\cdot Q_{8}}$, ${\displaystyle 6\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch, hamiltonsche Gruppe
	Quasi-Diedergruppe	${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$, ${\displaystyle Q_{8}}$, ${\displaystyle D_{4}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 5\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe	${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{8}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	Semidirektes Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{4}}$ (siehe hier)	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 6\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.	${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 3\cdot D_{4}}$, ${\displaystyle Q_{8}}$, ${\displaystyle 4\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 3\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
	${\displaystyle G_{4,4}=V_{4}\rtimes \mathbb {Z} _{4}}$	${\displaystyle 2\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 4\cdot \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, ${\displaystyle 7\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch
17	${\displaystyle \mathbb {Z} _{17}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
18	${\displaystyle \mathbb {Z} _{18}\cong \mathbb {Z} _{9}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{9},\mathbb {Z} _{6},\mathbb {Z} _{3},\mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{3}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},\mathbb {Z} _{3},\mathbb {Z} _{2}}$	abelsch
	${\displaystyle D_{9}}$		nichtabelsch
	${\displaystyle S_{3}\times \mathbb {Z} _{3}}$		nichtabelsch
	${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{3})\rtimes _{\alpha }\mathbb {Z} _{2}}$ mit ${\displaystyle \alpha (1)={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}}$		nichtabelsch
19	${\displaystyle \mathbb {Z} _{19}}$	-	abelsch, einfach, zyklisch
20	${\displaystyle \mathbb {Z} _{20}\cong \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{10},\mathbb {Z} _{5},\mathbb {Z} _{4},\mathbb {Z} _{2}}$	abelsch, zyklisch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{10}\times \mathbb {Z} _{2}\cong \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{5},\mathbb {Z} _{2}}$	abelsch
	${\displaystyle Q_{20}\cong \mathrm {Dic} _{5}}$		nichtabelsch
	${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{4}\cong }$ AGL1(5)		nichtabelsch
	${\displaystyle D_{10}\cong D_{5}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{10},D_{5},\mathbb {Z} _{5},5\cdot V_{4},6\cdot \mathbb {Z} _{2}}$	nichtabelsch

Einfache Struktursätze

Die folgenden Aussagen s​ind sehr elementare Struktursätze, d​eren Auswirkung s​ich deutlich i​n obiger Liste widerspiegelt.

• Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung ${\displaystyle p}$ isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.[2]

• Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung ${\displaystyle p^{2}}$ abelsch,[3] genauer isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ oder zum direkten Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$.[4]

• Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung ${\displaystyle 2p}$ isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2p}}$ oder zur Diedergruppe ${\displaystyle D_{p}}$.[5]

• Sind ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ Primzahlen mit ${\displaystyle q<p}$ und ist ${\displaystyle q}$ kein Teiler von ${\displaystyle p-1}$, dann ist jede Gruppe der Ordnung ${\displaystyle pq}$ isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{pq}}$.[6]

„The SmallGroups Library“

Das Computeralgebrasystem GAP enthält d​ie Programmbibliothek SmallGroups Library, d​ie eine Beschreibung v​on Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese s​ind alle b​is auf Isomorphie aufgelistet. Momentan (GAP Version 4.8.8) enthält d​ie Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

• alle der Ordnung bis ${\displaystyle 2000}$, außer den ${\displaystyle 49.487.365.422}$ Gruppen der Ordnung ${\displaystyle 1024}$ (bleiben ${\displaystyle 423.164.062}$ Gruppen);
• alle Gruppen, deren Ordnung ${\displaystyle n}$ für keine Primzahl ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle p^{3}}$ geteilt wird, für ${\displaystyle n\leq 50.000}$ (${\displaystyle 395.703}$ Gruppen);
• alle der Ordnung ${\displaystyle p^{7}}$, wobei ${\displaystyle p}$ eine der Primzahlen ${\displaystyle 3,5,7}$ oder ${\displaystyle 11}$ ist (${\displaystyle 907.489}$ Gruppen);
• alle der Ordnung ${\displaystyle p^{n}}$ mit einer beliebigen Primzahl ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle n\leq 6}$;
• alle der Ordnung ${\displaystyle q^{n}p}$ mit ${\displaystyle q^{n}}$ teilt ${\displaystyle 2^{8},3^{6},5^{5}}$ oder ${\displaystyle 7^{4}}$und ${\displaystyle p}$ ist eine beliebige von ${\displaystyle q}$ verschiedene Primzahl;
• alle Gruppen, deren Ordnung ${\displaystyle n}$ für keine Primzahl ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle p^{2}}$ geteilt wird (d. h. ${\displaystyle n}$ ist quadratfrei);
• alle Gruppen, deren Ordnung ${\displaystyle n}$ in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek w​urde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick u​nd Eamonn O’Brien erstellt.[7]

Einzelnachweise

1. In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
2. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.
3. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10.
4. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.
5. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.
6. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.
7. The SmallGroups library. Bei: www.gap-system.org.

Weblinks

• Thomas Keilen: Endliche Gruppen. (PS, dt.; GZIP; 202 kB), siehe § 15: Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 23.
• Eric W. Weisstein: Finite Group. In: MathWorld (englisch).
• Ausführliche Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 28 (englisch).