Novikov-Vermutung

In der Mathematik ist die Novikov-Vermutung eine für zahlreiche Gruppen ${\displaystyle \pi }$ bewiesene, aber im Allgemeinen offene Vermutung über die Topologie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi }$.

Sie h​at zahlreiche Anwendungen i​n der Chirurgietheorie b​ei der Klassifikation d​er Differentialstrukturen z​u einem gegebenen Homotopietyp.

Sie macht eine Aussage über die Homotopieinvarianz gewisser Kombinationen rationaler Pontrjagin-Klassen. Rationale Pontrjaginklassen sind Invarianten differenzierbarer Mannigfaltigkeiten, die nach einem Satz von Novikov invariant unter Homöomorphismen, aber im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen sind. Für die aus den Pontrjaginklassen gebildete L-Klasse ist ${\displaystyle \langle L(M),\left[M\right]\rangle }$ nach dem Signatursatz von Hirzebruch die homotopieinvariante Signatur. Die Novikov-Vermutung gibt (in Abhängigkeit von der Fundamentalgruppe) weitere homotopieinvariante Kombinationen. Es wird vermutet, dass sich alle homotopieinvarianten Kombinationen rationaler Pontrjaginklassen aus den in der Novikov-Vermutung betrachteten höheren Signaturen ergeben.

Sie würde a​us der Baum-Connes-Vermutung o​der auch d​er Borel-Vermutung folgen.

Formulierung der Vermutung

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierbare, ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle \pi$ :=\pi _{1}M} ihre Fundamentalgruppe und ${\displaystyle f\colon M\to B\pi }$ deren klassifizierende Abbildung. Zu jeder Kohomologieklasse ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(B\pi$ ;\mathbb {Q} )} definiert man eine höhere Signatur ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(M)}$ durch

${\displaystyle \sigma _{\alpha }(M):=\langle L(M)\cup f^{*}\alpha ,\left[M\right]\rangle }$,

wobei ${\displaystyle L(M)}$ die L-Klasse von ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \cup }$ das Cup-Produkt, ${\displaystyle \left[M\right]}$ die Fundamentalklasse und ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Die Novikov-Vermutung besagt, dass für jedes gegebene ${\displaystyle \alpha \in H^{*}(B\pi$ ;\mathbb {Q} )} die höhere Signatur eine Homotopieinvariante geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi }$ ist, d. h. homotopieäquivalente, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten haben dieselben höheren Signaturen.

Bewiesene Fälle

Man sagt, dass die Novikov-Vermutung für eine Gruppe ${\displaystyle \pi }$ bewiesen ist, wenn sie für alle Mannigfaltigkeiten mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi }$ bewiesen wurde.

• Novikov bewies seine Vermutung für abelsche Gruppen.
• Kasparow bewies mittels KK-Theorie die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit nichtpositiver Krümmung besitzen, insbesondere also diskrete Untergruppen einer Lie-Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten.[1]
• Connes und Moscovici bewiesen die Novikov-Vermutung für Gromov-hyperbolische Gruppen.[2] Die im Beweis verwendete Surjektivität des Homomorphismus von beschränkter Kohomologie in die Gruppenkohomologie wurde von Mineyev bewiesen.[3]
• Higson und Kasparow bewiesen die Novikov-Vermutung für Gruppen, die eine eigentliche Wirkung als Isometrien des Hilbertraums besitzen, insbesondere für mittelbare Gruppen.[4]
• Yu bewies die Novikov-Vermutung für Gruppen endlicher asymptotischer Dimension[5] und allgemeiner für Gruppen, die grob in den Hilbertraum eingebettet werden können.[6] Letzteres trifft auf alle linearen Gruppen[7] und auf Untergruppen von ${\displaystyle Out(F_{n})}$[8] zu.
• Hamenstädt bewies, dass Abbildungsklassengruppen exakt („boundary amenable“) sind, woraus für diese und alle ihre Untergruppen die Novikov-Vermutung folgt.[9]

Literatur

• S. P. Novikov: Analogues hermitiens de la K-théorie. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, S. 39–45. Gauthier-Villars, Paris (1971)
• S. Ferry, A. Ranicki, J. Rosenberg: A history and survey of the Novikov conjecture. In: Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 226, S. 7–66. Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995).
• M. Kreck, W. Lück: The Novikov conjecture, Geometry and Algebra, Oberwolfach Seminars, vol. 33. Birkhäuser Verlag, Basel (2005)
• J. Rosenberg: Novikov's conjecture, "Open Problems in Mathematics", J. F. Nash, Jr., and M. Th. Rassias, eds, Springer, 2016, S. 377–402
• G. Yu: The Novikov conjecture, Russian Mathematical Surveys 2019

Weblinks

• S. P. Novikov: Novikov conjecture (Scholarpedia)
• Novikov Conjecture (Manifold Atlas)

Einzelnachweise

1. G. Kasparov: Equivariant KK-theory and the Novikov conjecture. Invent. Math. 91 (1988), no. 1, 147–201.
2. A. Connes, H. Moscovici: Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups. Topology 29 (1990), no. 3, 345–388.
3. I. Mineyev: Straightening and bounded cohomology of hyperbolic groups. GAFA, Geom. Funct. Anal. 11(2001), 807–839.
4. N. Higson, G. Kasparov: E-theory and KK-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Invent. Math. 144 (2001), no. 1, 23–74.
5. G. Yu: The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension. Ann. of Math. (2) 147 (1998), no. 2, 325–355.
6. G. Yu: The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139(1), 201–240 (2000).
7. E. Guentner, N. Higson, S. Weinberger: The Novikov Conjecture for Linear Groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. No. 101 (2005), 243–268.
8. M. Bestvina, K. Bromberg, K. Fujiwara: Constructing group actions on quasi-trees and applications to mapping class groups. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 122 (2015), 1–64.
9. U. Hamenstädt: Geometry of the mapping class groups. I. Boundary amenability. Invent. Math. 175 (2009), no. 3, 545–609.